Математика в вузах 1 курс – Высшая математика для 1 и 2 курса

Высшая математика для 1 и 2 курса

Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Конспект лекций

Минск 2010

Высшая математика : конспект лекций. – Минск : БГТУ, 2010. –

197с.

Вконспекте лекций приведена программа по высшей математике, изложены основные теоретические сведения по курсу высшей математики, решения типовых примеров с рекомендациями, задания для самостоятельного решения, также содержится рекомендуемая литература и приложение.

Предназначен для студентов первого и второго курсов.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Предисловие …………………………………………………………..

6

 

 

Программа курса «Высшая математика» ..…………………………

7

 

1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии ……..

14

1.1. Элементы линейной алгебры .………………………………..

 

14

1.2. Основные сведения из векторной алгебры ..……..…………. 17

 

1.3. Основные сведения из аналитической геометрии .………….

21

1.4. Полярная система координат………………………………….

 

28

2. Введение в математический анализ …..…………………………..

38

 

2.1. Понятие предела функции и основные теоремы о пределах

38

2.2. Непрерывность функции……………………………………….

 

42

3.Дифференциальное исчисление функции одной переменной …. 47

3.1.Производная. Правила вычисления производных. Таблица

производных …….………………………………………………….

47

3.2. Логарифмическое дифференцирование………………………..……

50

3.3. Производные функций, заданных неявно и параметрически

51

3.4. Производные высших порядков…………………………………………

52

4. Приложение производной к исследованию функций и

 

построению графиков ……………………………………………..

55

4.1. Возрастание и убывание функции …………………………… 55

 

4.2. Экстремумы функции ………………………………………… 56

 

4.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

58

4.4.Асимптоты графика функции ……………………………….. 58

4.5.Выпуклость и вогнутость графика функции ……………….. 60

4.6. Общая схема исследования функции и построения графика

61

5. Неопределенный интеграл ………………………………………..

68

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл ……………….

68

5.2. Вычисление неопределенного интеграла методом

70

замены переменной ………………………………………………..

5.3. Вычисление неопределенного интеграла методом

 

интегрирования по частям ………………………………………..

71

5.4. Интегрирование рациональных функций …………………..

72

5.5. Интегрирование простейших иррациональностей …………

75

5.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

76

6. Определенный интеграл …………………………………………

78

6.1. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-

 

Лейбница …………………………..………………………………

78

3

6.2. Вычисление определенного интеграла методом интегри-

рования по частям и методом замены переменной …………….

79

6.3. Применение определенного интеграла для вычисления

площадей плоских фигур ……………………………………

 

 

 

 

80

6.4. Применение определенного

интеграла для

вычисления

длин дуг плоских кривых …….…………………………………..

 

 

 

84

6.5. Применение определенного

интеграла

для

вычисления

объемов тел вращения .……………………………………………

 

 

 

85

6.6. Несобственные интегралы …………………………………

 

 

86

7. Обыкновенные дифференциальные уравнения ……………….

88

7.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися

переменными, однородных и линейных .………………………..

 

88

7.2. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка,

до-

пускающих понижение порядка

…….…………………………

 

 

91

7.3. Решение линейных дифференциальных

уравнение 2-го

порядка с постоянными коэффициентами и специальной пра-

вой частью ………………………………………………………..

 

 

 

 

94

7.4. Решение систем дифференциальных уравнений …………

99

8. Функции нескольких переменных

…………………………..….

101

 

 

8.1. Частные производные функции двух переменных

101

8.2. Экстремум функции двух переменных………………………

 

102

9. Ряды …………………………………………………………….….

 

 

 

 

104

9.1. Числовые ряды ……………………….…………………..….

 

 

 

 

104

9.2. Степенные ряды ………………………………….…………..

 

 

 

 

110

9.3. Ряды Тейлора и Маклорена ..……………………………….

 

 

112

10. Кратные интегралы ………………………………………………

 

 

 

 

115

10.1. Двойные интегралы, их вычисление в декартовой и по-

лярной системах координатах ………………………………….

 

 

115

10.2. Тройные интегралы, их вычисление в декартовых и ци-

линдрических системах координат …..…………………………

 

 

119

10.3. Криволинейные интегралы …..……………………………

 

 

122

11. Теория поля ……………………………………………………… 125

 

 

 

 

 

11.1. Скалярное поле …..…………………………………………

125

 

 

 

11.2. Векторное поле ……………………………………………

127

 

 

 

12. Теория вероятностей ……………………………………………

131

 

 

 

12.1. Случайные события и их классификация ………………

131

4

12.2. Классическое определение вероятности. Свойства веро-

 

ятности …………………………………………………………..

133

12.3. Элементы комбинаторики …………………………………

133

12.4. Основные теоремы вероятностей случайных событий ….

135

12.5. Схема испытаний Бернулли ………………………………

139

12.6. Случайные величины …..………………………………….

142

12.7. Числовые характеристики случайных величин .…………

145

12.8. Некоторые законы распределения случайных величин …

149

13. Математическая статистика …………………………………… 153

 

13.1. Статистический ряд и его описание ………………………

153

13.2. Статистическая оценка параметров распределения ……..

154

13.3. Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадра-

160

тов ..………………………………………………………………..

Задачи для контрольных работ ..….………………………………..

164

Приложение …………………………………………………………..

194

Литература …………………………………………………………..

197

5

ВВЕДЕНИЕ

Электронный конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» предназначен для оказания помощи студентам первого и второго курсов при выполнений домашних заданий и при подготовке к экзаменам

Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, задачи для самостоятельного решения по 13-ти основным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структура учебно-методического пособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.

Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.

6

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для оказания помощи студентам заочной формы обучения химико-технологических специальностей при выполнении контрольных работ и при подготовке к экзаменам, для которых на изучение курса высшей математики типовыми учебными планами предусмотрено 524–570 часов.

Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе вышеуказанной дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, контрольные задания по 13-ти основным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы. По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем приведены образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ. Структура учебно-методического пособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.

Содержание рукописи соответствует уровню современных образовательных технологий, служит рационализации учебного процесса, позволяет студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности усвоения иллюстрируются рисунками.

В процессе подготовки к выполнению контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения, разобраться с решениями предложенных типовых задач, решить несколько аналогичных задач, ответы на которые известны, и только после этого переходить к выполнению контрольной работы.

7

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица.

2.Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. Определители n-го порядка.

3.Обратная матрица. Ранг матрицы.

4.Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Совместность и несовместность систем. Теорема Кронекера– Капелли. Решение систем методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.

5.Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

6.Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат в пространстве. Ортонормированная тройка векторов. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

7.Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

8.Скалярное произведение векторов и его свойства.

9.Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.

10.Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.

11.Взаимное расположение векторов: перпендикулярность, параллельность, компланарность, угол между векторами.

12.Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Уравнение линий на плоскости.

13.Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

14.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, па-

рабола.

15.Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Тема 2. Введение в математический анализ

1. Множества и функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные эле-

8

ментарные и элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.

2.Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы.

3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

4.Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.

5.Определение касательной к графику функции. Число e. Натуральные логарифмы. Первый и второй замечательные пределы.

6.Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

7.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Критерий непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.

2.Основные правила дифференцирования. Производная сложной

иобратной функций.

3.Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

4.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

5.Производные и дифференциалы высших порядков.

6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Тема 4. Исследование функций с помощью производных

1.Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.

2.Понятие о локальном экстремуме функции. Необходимые условия экстремума дифференцируемой и непрерывной функций.

3.Достаточные условия экстремума по первой и второй производной. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.

9

4.Асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.

5.Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функций. Точки перегиба.

6.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Тема 5. Неопределенный интеграл

1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

2.Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.

3.Интегрирование рациональных функций.

4.Интегрирование простейших иррациональных функций и тригонометрических выражений.

Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы

1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о нахождении пути, пройденного материальной точкой). Определенный интеграл и его основные свойства.

2.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.

3.Замена переменной в определенном интеграле.

4.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

5.Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.

6.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка (решение, общее решение, начальные условия, частное решение). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

10

studfiles.net

Высшая математика 1 курс

Замечание 1

Курс высшей математики в вузах различается как продолжительностью изучения, так и наполнением тем для изучения. Но существует определенный неизменяемый перечень тем, обязательных для изучения студентами. Дадим краткую характеристику основным темам, которые изучаются на $1$ курсе вуза.

Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов.

Изучаются равные матрицы, квадратные, диагональные, единичные, треугольные и трапецевидные матрицы.

Над матрицами выполняются следующие виды действий:

  • сложение матриц одинакового размера;
  • умножение матрицы на вектор-столбец;
  • умножение матрицы на число;
  • умножение матриц, причем вводится понятие согласованности и транспортирования матриц;

Определитель квадратной матрицы

Рассматривается понятие определителя для матриц до 4-го порядка.

Основные свойства определителей:

  1. Если А и В являются квадратными матрицами, то $|AB|=|BA|=|A| \times |B|$. Причем $AB \ne BA$.
  2. $|A|=|A^T|$.
  3. Определитель равен нулю, если он содержит нулевой ряд или $2$ одинаковых параллельных ряда.
  4. Для диагональной и треугольной матриц определитель равен произведению чисел главной диагонали.
  5. Общий множитель любого ряда определителя можно вынести за его знак.

Рассматривается понятие минора и теорема Лапласа (о разложении определителя).

Обратная матрица

Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и ее определитель не равен нулю:

  1. Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, получается союзная матрица.
  2. Союзная матрица транспонируется.
  3. Выполняется деление каждого элемента союзной матрицы на определитель матрицы.

Ранг матрицы

Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы.

Свойства:

  1. Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.
  2. При вычеркивании нулевого ряда ранг не изменяется.
  3. Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований.
  4. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых элементов, расположенных на главной диагонали.

Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ

Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так:

$a_k=\frac{|A_k |}{|A|}$ , где $A_k$ можно получить из $A$ заменой какого столбца на столбец свободного члена $B$.

Метод Гаусса

Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных систем уравнений, однородной системы линейных уравнений.

Правило решения системы уравнений:

Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar{A}$):

  1. Если $rA \ne r \bar{A}$, то система несовместна;
  2. Если $rA=r \bar{A}=r$, то система совместна и находят базисный минор порядка $r$:
    • берутся $r$ уравнений, из коэффициентов которых составляется базисный минор, остальные отбрасываются. Неизвестные, коэффициенты которых составляют минор, называются главными. Их записывают слева, а остальные $(n-r)$ – справа;
    • выражают главные неизвестные через свободные и получают общее решение системы;
    • свободным неизвестным дают произвольное значение и получают частные решения.

Элементы векторной алгебры

Векторы

Изучается понятие вектора, длина и направление вектора, противоположный вектор, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.

Операции над векторами

Рассматриваются операции над векторами:

  • умножение вектора на число;
  • сумма векторов;
  • скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Несколько видов уравнений описывают прямую на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и направление, уравнение через 2 точки, уравнение в отрезках, уравнение через данную точку перпендикулярно вектору, нормальное уравнение прямой.

Традиционно рассматривается формула для нахождения угла между прямыми, условия перпендикулярности и параллельности прямых и расстояния от точки до прямой.

Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве задается с помощью различных видов уравнения: уравнение через точку перпендикулярно к вектору, уравнение через 3 точки, нормальное уравнение плоскости, уравнение в отрезках.

Рассматривается угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве

Канонические уравнения прямой или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, уравнения в параметрическом виде, общее и векторное уравнение прямой, уравнение прямой через 2 точки в пространстве. Формула угла между прямыми.

Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой и плоскости

Для каждого из вариантов расположения предлагается формула для нахождения угла между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью, а также условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Отдельно изучается пересечение прямой с плоскостью и условие принадлежности прямой плоскости.

Линии второго порядка

Эллипс

Кроме основного канонического уравнения эллипса изучаются понятия эксцентриситета и директрис.

Гипербола

Изучается каноническое уравнение гиперболы, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов.

Парабола

Рассматривается понятие полуфокального диаметра параболы и каноническое уравнение параболы.

Замечание 2

Изучение высшей математики на первом курсе, как правило, заканчивается изучением раздела «Линии второго порядка», но может варьироваться в зависимости от учебных планов, программ и специальностей.

spravochnick.ru

Высшая математика 1 курс 1 семестр

4

дисциплина «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

1 курс, I семестр

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Тема 1. Матрицы

Понятие матрицы. Операции над матрицами. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Понятие определителя n-го порядка. Ранг матрицы. Обратная матрица. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.

Тема 2. Системы линейных уравнений и неравенств

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными. Смешанные системы линейных уравнений и неравенств. Применение элементов линейной алгебры в экономике.

Тема 3. Векторная алгебра

Понятие вектора на плоскости и в трехмерном пространстве. Основные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторы в n-мерном пространстве. Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Размерность и базис пространства. Понятие о векторных пространствах. Евклидово пространство.

Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости

Предмет аналитической геометрии. Метод координат. Декартова и полярная системы координат. Основные виды уравнения прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Параметрическое и полярное представления линий.

Тема 5. Элементы аналитической геометрии в пространстве

Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве. Основные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Понятие о поверхностях второго порядка и их классификации.

Тема 6. Комплексные числа.

Комплексная плоскость. Формы представления комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Формулы Эйлера.

Тема 7. Числовая последовательность и ее предел

Действительные числа. Числовые множества. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Экономическая интерпретация числа e.

Тема 8. Предел функции одной переменной

Функции и отображения, их области определения и значений, способы задания и

график функции. Основные элементарные функции. Сложная функция. Предел

функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные преде-

лы. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

Тема 9. Непрерывные функции одной переменной

Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Непрерывность сложной функции и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность функции на множестве. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

Тема 10. Производная и дифференциал функции одной переменной

Производная функции. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Логарифмическая производная. Дифференцируемость функции одной переменной. Дифференциал, его геометрический и экономический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры применения производной в экономике. Производные высших порядков. Неявные функции.

Тема 11. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Стационарные точки. Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Теорема Коши. Правило Лопиталя.

Тема 12. Приложения дифференциального исчисления

Условие постоянства функций. Условия монотонности функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Достаточные условия экстремума. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций. Предельные показатели в экономике. Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Учебники

1. Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.

2. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов /

А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.: Высш. шк., 1982. − 272 с.

3. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.: Наука, 1989. −

656 с.

4. Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.

5. Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.

6. Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов /

В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.

7. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.

8. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.

9. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.

10. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. − М.: ООО «Изд. дом «Оникс 21 век», 2003. − 416 с.

11. Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704с.

12. Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Шипачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.

13. Общий курс высшей математик для экономистов: учебник / под ред.

В.И. Ермакова. − М.: ИНФРА-М, 2001.

14. Натансон, И.П. Краткий курс высшей математики / И.П. Натансон. − СПб, Издательство «Лань», 2001.

15. Малыхин, В. И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.: ИНФРА-М, 2002. − 352 с.

16. Красс, М.С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. − М.: ООО «Питер пресс», 2008. − 464 с.

17. Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.

18. Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.

19. Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.

20. Плющ, О.Б. Высшая математика. Часть 1. Элементарная математика, аналитическая геометрия, высшая алгебра / О.Б. Плющ. − Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004. − 168 с.

Задачники

21. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.

22. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 кн. Кн. 2: учеб. пособие для вузов / А А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 228с.

23. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.

24. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. − 284 с.

25. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред. А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.

26. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. Ч. 2: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред. А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1991. − 351 с.

27. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов /

А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.

28. Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. − 423 с.

Наглядные и методические пособия

29. Черняк, А.А. Сборник задач по высшей математике с демонстрационными примерами: Учебно-методическое пособие. / А.А. Черняк, Ю.А. Доманова. − Мн.: МИТСО, 2002. − 98 с.

30. Буснюк, Н.Н. Основы высшей математики и информатики: метод. Пособие для студ. юрид. спец. / Н.Н. Буснюк, Н.О. Берестнева. − Мн.: МИТСО, 2007. − 72 с.

31. Методика решения задач по высшей математике: метод. пособие /

Н.А. Докукова, Е.Н. Кафтайкина. − Мн.: МИТСО, 2008. − 63 c.

studfiles.net

Курс лекций по высшей математике. 1 часть

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем

a11

a12

a13

 

a11

a12

a13

 

K a11

K a12

K a13

K

a11

a12

a13

0 .

a31

a32

a33

 

a31

a32

a33

 

4.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:

a11

b11 a12

b12 a13

b13

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

a23

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

(a11

b11 )

A11

(a12

b12 ) A12

 

(a13

b13 )

A13

(a11

A11

a12

A12

a13 A13 )

(b11 A11

b12

A12 b13 A13 )

 

 

 

a11

a12

a13

 

 

b11

b12

b13

 

 

 

 

a21

a22

a23

 

 

a21

a22

a23

,

 

 

 

a31

a32

a33

 

 

a31

a32

a33

 

так как в первых скобках записано разложение по первой строке определителя с элементами a11 , a12 , a13 , а во вторых – разложение опреде-

лителя с элементами b11 , b12 , b13 .

5.Величина определителя не изменится, если к элементам какоголибо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.

Для доказательства этого рассмотрим определитель

a11 a12 a13 a21 a22 a23 .

a31 a32 a33

Составим определитель, полученный из данного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.

studfiles.net

Открытое образование — Высшая математика. 1 семестр

  • 11 недель
  • от 10 до 14 часов в неделю
  • 4 зачётных единицы

Курс высшей математики для общетехнических специальностей. Включает программу 1 семестра, соответствующую ГОС.

О курсе

Данный курс предназначен для студентов и слушателей, желающих изучить основы высшей математики. Курс соответствует государственным образовательным стандартам.

В первом семестре изучаются 4 раздела: элементы линейной алгебры, векторная алгебра, аналитическая геометрия и начала математического анализа.

Рекомендуется к использованию для студентов-заочников общетехнических направлений и в качестве дополнения к основному курсу высшей математики высших технических учебных заведений.

Формат

Курс включает видеолекции, в которых разобраны основные понятия: определения и теоремы, некоторые из которых доказываются, а также разбираются практические задачи и примеры. Более полное изложение курса содержится в приведенной литературе. Кроме того, по каждой теме предлагается небольшой online тест на проверку полученных знаний. В конце курса – итоговый тест, по результатам которого выдается сертификат о прохождении курса высшей математики за 1 семестр.

Программа курса

Раздел 1. Линейная алгебра: определители, матрицы, системы линейных уравнений

  • Определители и системы линейных уравнений
  • Матрицы и действия с ними
  • Общая теория линейных систем

Раздел 2. Векторная алгебра

  • Линейные операции над векторами
  • Операции умножения векторов

Раздел 3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

  • Прямая на плоскости
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Кривые и поверхности второго порядка

Раздел 4. Начала математического анализа: предел числовой последовательности, предел и непрерывность функции

  • Множества и функции
  • Предел числовой последовательности
  • Предел и непрерывность функции

Результаты обучения

Студент должен освоить программу высшей математики за первый семестр. Научиться решать произвольные линейные системы, освоить векторную алгебру, аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве. Также студент должен изучить основы математического анализа, научиться вычислять пределы и исследовать функцию на непрерывность.

Формируемые компетенции

  • Рассматривает возможные варианты решения задачи, оценивая их достоинства и недостатки
  • Анализирует задачу, выделяя ее базисные составляющие, осуществляет декомпозицию задачи

openedu.ru

Высшая математика (краткий курс лекций)

113

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

§1. Понятие множества. Некоторые сведения о математической логике.

§2. Числовые множества. Множество действительных чисел.

§3. Числовые промежутки.

§4. Модуль действительного числа.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

§1. Понятие функции и способы ее задания.

§2. Основные характеристики функций.

§3. Элементарные функции.

§4. Приложение функций в экономике.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

§1. Числовая последовательность и ее предел.

Понятие предела является фундаментальным в математическом анализе. Начальные сведения о пределах встречаются еще в школьном курсе. Например, в алгебре с понятием предела связан вопрос о сумме членов бесконечной убывающей прогрессии, в геометрии – вопрос о вычислении длины окружности, площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел вращения.

В курсе математического анализа с помощью предела вводятся понятия производной, определенного интеграла.

Ознакомимся с понятием числовой последовательности и ее предела.

Определение.Если каждому натуральному числуnпоставлено в соответствие числохn, то говорят, что заданапоследовательность

x1, х2, …, хn = {xn} (1.1)

Общий элемент последовательности является функцией отn.

xn = f(n)

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Примеры.

10) {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; …

20) {xn} = {} или {xn} = 1;;;; …

30) {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

40) {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; -1; 0; …

50) {xn} = {6} или {xn} = 6; 6; 6; 6; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

  1. Умножение последовательности на число m:m{xn} = {mxn}, т.е.mx1,mx2, …

  2. Сложение (вычитание) последовательностей: {xn}±{yn} = {xn±yn}.

  3. Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

  4. Частное последовательностей: при{yn} ¹ 0.

Замечание.Если переменнаяxn принимает значенияx1, х2, …, хn,…, то говорят, что эта переменная «пробегает» числовую последовательность{xn}. Такую переменную называют «упорядоченной». Часто упорядоченную переменную отождествляют с числовой последовательностью, которую она «пробегает» и обозначаютxn. Переменнаяxn не является непрерывной, она –дискретная.

Заметим, что n(номер) можно увеличивать неограниченно, пишутn→∞и последовательность (1.1) являетсябесконечнойчисловой последовательностью.

Вернемся к рассмотренному примеру 10): {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; … На данном примере можно заметить, что приn→∞переменная величинаxnтоже неограниченно возрастает. Такие величины называют бесконечно большими.

Определение.Переменная величинаxnназывается бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) М>0 можно найти такой номерn=N,начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству:

|xn|³M

Рассматривая пример 20), можно заметить, что величинаxn=→ 0 приn → ∞. Такие величины называютсябесконечно малыми.

Рассмотрим еще один пример: {xn} = {} или {xn} = 0;;;

По мере возрастания номера nчлены числовой последовательности приближаются к числу 1. Говорят, что 1 – предел этой числовой последовательности. Точно так же в примере 20) 0 – предел этой последовательности. Кратко это записывается так .

Определение. Окрестностью точкианазывается любой интервал (α, β), содержащий точкуа. В частности, симметричный интервал (а — ε;а+ ε), где ε > 0, называется ε-окрестностью точкиа.

Замечание.х (а — ε;а+ ε)

В общем случае, если последовательность {xn}имеет своим пределом числоа, то это записывают так .

Геометрически это означает, что начиная с некоторого номера n=N,N+1,N+2, …все члены последовательности попадают в ε-окрестность точкиа. (ε – достаточно малое положительное число) или

Последовательности 30),40) не имеют предела (расходятся). Последовательность, которая имеет предел – сходится.

Определение.Числоаназываетсяпределомпоследовательности {xn}, если для любого положительногоe>0 существует такой номерN, что для всехn>Nвыполняется условие:

Это записывается:

В этом случае говорят, что последовательность {xn} сходитсяка приn®¥.

Свойство:Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример.Доказать, что предел последовательностиlim .

Пусть при n>Nверно , т.е.. Это верно при, таким образом, если заNвзять целую часть от, то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример.Показать, что приn®¥последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n=xn– 2

Очевидно, что существует такое число n, что, т.е.lim {xn}= 2.

Теорема.Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство.Предположим, что последовательность {xn}имеет два пределаa иb, не равные друг другу, т.еxn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e>0, что

Запишем выражение:

А т.к. e-любое число, то, т.е.a=b. Теорема доказана.

Замечание.Говорят, чтонепрерывнаяпеременнаяха, если эту переменную можно представить как бесконечное число числовых последовательностей, каждая из которых имеет пределом числоа.

Переменная хстремится каслева (справа), если все члены последовательностей, имеющих пределом числоа,

ха-0

ха+0

Переменная х→ +, если для любого сколь угодно большого М>0 найдетсях, начиная с которого все следующие значенияхбудут больше М :х> М их→ —, если для любого сколь угодно большого М>0 найдетсях, начиная с которого все следующие значенияхбудут меньше — М :х<- М. В этих случаях переменнаяхназывается бесконечно большой.

studfiles.net

Открытое образование — Высшая математика. Математический анализ

  • 16 недель
  • 3 зачётных единицы

О курсе

Этот курс логически является первой частью двойного авторского курса Алексея Савватеева «Высшая математика для всех». Здесь излагаются основные понятия математического анализа: предел и его различные применения (сумма ряда, предел последовательности, производная, интеграл), непрерывность, построение графиков функций, функциональные последовательности и ряды (в частности, степенные). Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже. В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Главной сюжетной линией является построение экспоненты как функции сначала вещественной, а потом и комплексной переменной (а в последующей второй части курса, посвящённой линейной алгебре, будет строиться экспонента от оператора). В связи с этой задачей оказываются задействованными основные инструменты математического анализа и типичные приёмы математических рассуждений, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров.

Формат

Курс включает 13 недель лекционных и семинарских занятий. На лекциях излагаются основные идеи, примеры, сюжеты, теория. На семинарах − более технические вопросы и задачи, иллюстрирующие использование методов. В конце каждой недели слушателям предлагаются контрольные задачи, а по окончании всех недель − проверочный экзамен. В основном задачи ориентированы на проверку понимания материалов лекций и семинаров, но есть и более сложные задания, требующие самостоятельной работы.

Логическим продолжением этого курса является вторая часть двойного курса «Высшая математика для всех» − «Линейная алгебра и элементы топологии». По замыслу автора эти две части − математический анализ и линейная алгебра − должны восприниматься слушателями как единое целое. Перед изучением второй части курса очень желательно быть знакомым с первой частью.

Требования

Курс не требует предварительных знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. 

Программа курса

  1. Мотивирующие примеры: как далеко видно с горы, приближенные вычисления, последовательность вложенных треугольников.
  2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Полнота множества вещественных чисел. Признаки сходимости рядов: интегральный, Даламбера и Коши.
  3. Последовательности, интуитивное представление о сходимости. Сходимость без указания предела (фундаментальные последовательности). Предел последовательности, его связь с суммой ряда. Примеры пределов последовательностей. Рекуррентные последовательности.
  4. Общее понятие предела, основанное на системе окрестностей. Использование пределов в математическом анализе: производная, задание и вычисление вещественных чисел, интеграл, асимптотика.
  5. Многочлены и их графики. Корни многочлена и теорема Безу. Локальные экстремумы и производная. Старшие производные.
  6. Экспонента: введение. Возникновение экспоненты и числа e в различных задачах.
  7. Экспонента: алгебраический подход. Теорема о промежуточном значении и неизменность знака экспоненты. Построение экспоненты «по непрерывности».
  8. Степенные ряды. Экспонента как степенной ряд. Число e − основание степени в экспоненте. «Замечательный предел» для числа e и экспоненты. Продолжение экспоненты на комплексную плоскость. Раскрытие скобок в произведении рядов. Абсолютная сходимость ряда и перестановка слагаемых. Условно сходящиеся ряды.
  9. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Мажорируемая сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.
  10. Комплексная экспонента. Комплексные тригонометрические функции.

openedu.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.