Профиль математика теория: Округление | ЕГЭ по математике (профильной)

Линейные, квадратные, кубические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной)

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые. 2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

Практика: решай 5 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)

Основная теория для ЕГЭ по математике

Главная

Новости

Основная теория для ЕГЭ по математике

18.11.2020

01:56

Боитесь экзамена по профильной математике? Неудивительно, ведь это один из самых сложных предметов. Его нельзя сдать, просто выучив основную теорию математики, ведь каждое задание представляет собой решение задачи или примера. Но не переживайте — уделив достаточно времени подготовке к ЕГЭ, вы обязательно получите высокие баллы! А мы хотим вам в этом помощь. Сохраняйте себе таблицы с некоторой теорией по математике. В них вы найдете основы тригонометрии, производные и логарифмы, свойства корня и степени, формулы сокращенного умножения и таблицу квадратов, а также принцип решения уравнений и неравенств. 

09.04.2021

15:48

Формулы по планиметрии

Задачи по этому разделу связаны с нахождением площадей, сторон, углов

Читать далее

09.04.2021

15:48

Как подготовиться к ЕГЭ с нуля?

Но можно ли подготовиться к ЕГЭ вообще с нуля? Это вполне реально, но лучше пойт.

..

Читать далее

09.04.2021

15:48

День открытых дверей в РУДН!

30 января в 11:00 приглашаем всех желающих на День открытых дверей РУДН в онлайн…

Читать далее

23.08.2022

16:44

Поздравляем с Днем защитника Отечества!

Изменения в расписании в связи с праздничными днями

Читать далее

20.12.2021

13:35

Подготовим всех к вступительным испытаниям (журналистика и архитектура)

Решили стать журналистом или архитектором? Ок, весьма достойный выбор!

Читать далее

20. 12.2021

12:36

Выбираешь профессию своей мечты? Велкам в наши летние школы!

Приходите к нам в гости — узнайте всё о профессии своей мечты.

Читать далее

Шриниваса Рамануджан | Биография, вклад и факты

Шриниваса Рамануджан

См. все СМИ

Дата рождения:
22 декабря 1887 г. эрозия Индия
Умер:
26 апреля 1920 г. (32 года) Кумбаконам Индия

Просмотреть весь связанный контент →

Популярные вопросы

Где получил образование Шриниваса Рамануджан?

В возрасте 15 лет Шриниваса Рамануджан получил книгу по математике, содержащую тысячи теорем, которые он проверил и из которых развил свои собственные идеи. В 1903 году он некоторое время посещал Мадрасский университет. В 1914 году он уехал в Англию, чтобы учиться в Тринити-колледже в Кембридже у британского математика Г.Х. Харди.

Каков был вклад Шринивасы Рамануджана?

Индийский математик Шриниваса Рамануджан внес вклад в теорию чисел, в том числе новаторские открытия свойств статистической суммы. Его статьи публиковались в английских и европейских журналах, а в 1918 лет он был избран в Королевское общество Лондона.

Чем запомнился Шринивас Рамануджан?

Шриниваса Рамануджана помнят за его уникальные математические способности, которые он в значительной степени развил сам. В 1920 году он умер в возрасте 32 лет, в целом неизвестный миру, но признанный математиками как феноменальный гений, не имеющий себе равных со времен Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Якоби (1804–1851).

Шриниваса Рамануджан , (родился 22 декабря 1887, Эроде, Индия — умер 26 апреля 1920, Кумбаконам), индийский математик, чей вклад в теорию чисел включает новаторские открытия свойств статистической суммы.

Когда ему было 15 лет, он получил копию книги Джорджа Шубриджа Карра

Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics, 2 vol. (1880–86). Этот сборник из тысяч теорем, многие из которых представлены лишь с кратчайшими доказательствами и без материалов новее 1860 года, пробудил его гений. Проверив результаты в книге Карра, Рамануджан пошел дальше, разработав собственные теоремы и идеи. В 1903 он получил стипендию в Мадрасском университете, но потерял ее в следующем году, потому что пренебрегал всеми другими занятиями в погоне за математикой.

Britannica Quiz

Числа и математика

A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.

Рамануджан продолжал свою работу, не имея работы и живя в самых бедных условиях. После женитьбы в 1909 он начал поиск постоянной работы, кульминацией которого стало интервью с правительственным чиновником Рамачандрой Рао.

Впечатленный математическими способностями Рамануджана, Рао какое-то время поддерживал его исследования, но Рамануджан, не желая существовать на благотворительность, получил канцелярский пост в Madras Port Trust.

В 1911 году Рамануджан опубликовал первую из своих статей в журнале Индийского математического общества . Его гений постепенно получил признание, и в 1913 году он начал переписку с британским математиком Годфри Х. Харди, которая привела к получению специальной стипендии от Мадрасского университета и гранта от Тринити-колледжа в Кембридже. Преодолев свои религиозные возражения, Рамануджан отправился в Англию в 1914, где Харди обучал его и сотрудничал с ним в некоторых исследованиях.

Познания Рамануджана в математике (большую часть которой он разработал сам) были поразительны. Хотя он почти ничего не знал о современных достижениях в области математики, его мастерство владения непрерывными дробями не имело себе равных ни у одного из ныне живущих математиков.

Он разработал ряд Римана, эллиптические интегралы, гипергеометрические ряды, функциональные уравнения дзета-функции и свою собственную теорию расходящихся рядов, в которой он нашел значение суммы таких рядов, используя изобретенную им технику, которая пришла к можно назвать суммированием Рамануджана. С другой стороны, он ничего не знал ни о двоякопериодических функциях, ни о классической теории квадратичных форм, ни о теореме Коши и имел лишь самое смутное представление о том, что представляет собой математическое доказательство. Несмотря на свою гениальность, многие из его теорем по теории простых чисел были ошибочны.

В Англии Рамануджан добился дальнейших успехов, особенно в делении чисел (количество способов, которыми положительное целое число может быть выражено в виде суммы положительных целых чисел; например, 4 может быть выражено как 4, 3 + 1, 2 + 2). , 2 + 1 + 1 и 1 + 1 + 1 + 1). Его статьи были опубликованы в английских и европейских журналах, а в 1918 году он был избран в Лондонское королевское общество.

В 1917 году Рамануджан заболел туберкулезом, но его состояние улучшилось настолько, что в 1919 году он вернулся в Индию.19. Он умер в следующем году, в основном неизвестный миру, но признанный математиками как феноменальный гений, не имеющий себе равных со времен Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Якоби (1804–51). Рамануджан оставил после себя три тетради и стопку страниц (также называемую «потерянной тетрадью»), содержащую множество неопубликованных результатов, которые математики продолжали проверять еще долго после его смерти.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас

Эта статья была недавно отредактирована и обновлена ​​Эриком Грегерсеном.

Карл Фридрих Гаусс | Биография, открытия и факты

Карл Фридрих Гаусс

Смотреть все СМИ

Дата рождения:
30 апреля 1777 г. Брауншвейг
Умер:
23 февраля 1855 г. (77 лет) Геттинген Ганновер
Награды и награды:
Медаль Копли (1838 г.)
Изобретения:
гелиотроп магнитометр
Известные работы:
«Арифметические исследования»

Просмотреть весь связанный контент →

Популярные вопросы

Чем знаменит Карл Фридрих Гаусс?

Гаусс считается одним из величайших математиков всех времен за его вклад в теорию чисел, геометрию, теорию вероятностей, геодезию, планетарную астрономию, теорию функций и теорию потенциала (включая электромагнетизм).

Каким было детство Карла Фридриха Гаусса?

Гаусс был единственным ребенком бедных родителей. Он был расчетливым вундеркиндом с даром к языкам. Его учителя и его преданная мать порекомендовали его герцогу Брауншвейгскому в 1791 году, который предоставил ему финансовую помощь для продолжения образования на месте, а затем для изучения математики в Геттингенском университете.

Какие награды получил Карл Фридрих Гаусс?

Гаусс получил медаль Копли, самую престижную научную награду в Соединенном Королевстве, ежегодно присуждаемую Лондонским королевским обществом в 1838 году «за свои изобретения и математические исследования в области магнетизма». За изучение карт, сохраняющих угол, он был удостоен премии Датской академии наук в 1823 г.

Какое влияние оказал Карл Фридрих Гаусс?

Гаусс написал первый систематический учебник по алгебраической теории чисел и заново открыл астероид Церера. Он опубликовал работы по теории чисел, математической теории построения карт и многим другим предметам. После смерти Гаусса в 1855 году обнаружение многих новых идей среди его неопубликованных статей распространило его влияние на оставшуюся часть века.

Сводка

Прочтите краткий обзор этой темы

Карл Фридрих Гаусс , настоящее имя Иоганн Фридрих Карл Гаусс , (родился 30 апреля 1777, Брауншвейг [Германия] — умер 23 февраля 1855, Геттинген, Ганновер), немецкий математик, обычно считается одним из величайших математиков всех времен за его вклад в теорию чисел, геометрию, теорию вероятностей, геодезию, планетарную астрономию, теорию функций и теорию потенциала (включая электромагнетизм).

Гаусс был единственным ребенком бедных родителей. Он был редкостью среди математиков тем, что был вундеркиндом и сохранял способность производить сложные вычисления в уме большую часть своей жизни. Впечатленные этой способностью и его даром к языкам, учителя и преданная мать рекомендовали его герцогу Брауншвейгскому в 179 г.1, который предоставил ему финансовую помощь для продолжения образования на месте, а затем для изучения математики в Геттингенском университете с 1795 по 1798 год. Новаторская работа Гаусса постепенно сделала его выдающимся математиком той эпохи сначала в немецкоязычном мире, а затем и за его пределами. , хотя он оставался далекой и отчужденной фигурой.

Тест «Британника»

Физика и законы природы

Какая сила замедляет движение? Каждому действию есть равное и противоположное что? В этом викторине по физике нет ничего, что E = mc было бы квадратным.

Первым значительным открытием Гаусса, сделанным в 1792 году, было то, что правильный многоугольник с 17 сторонами может быть построен только с помощью линейки и циркуля. Его значение заключается не в результате, а в доказательстве, которое основывалось на глубоком анализе факторизации полиномиальных уравнений и открыло дверь более поздним идеям теории Галуа. Его докторская диссертация 1797 г. дала доказательство основной теоремы алгебры: всякое полиномиальное уравнение с вещественными или комплексными коэффициентами имеет столько корней (решений), сколько его степени (наибольшей степени переменной). Доказательство Гаусса, хотя и не вполне убедительное, отличалось критикой более ранних попыток. Позже Гаусс дал еще три доказательства этого важного результата, последнее к 50-летию первого, что показывает важность, которую он придавал этой теме.

Узнайте о жизни и карьере математического гения Карла Фридриха Гаусса

Просмотреть все видео к этой статье

Однако признание Гаусса как поистине выдающегося таланта стало результатом двух крупных публикаций в 1801 году. Прежде всего, это публикация им первого систематического учебника. по алгебраической теории чисел, Disquisitiones Arithmeticae . Эта книга начинается с первого описания модульной арифметики, дает подробное описание решений квадратных многочленов от двух переменных в целых числах и заканчивается упомянутой выше теорией факторизации. Этот выбор тем и их естественные обобщения определили повестку дня в теории чисел на протяжении большей части XIX века.веке, и постоянный интерес Гаусса к этому предмету стимулировал множество исследований, особенно в немецких университетах.

Второй публикацией было его повторное открытие астероида Церера. Его первоначальное открытие, сделанное итальянским астрономом Джузеппе Пиацци в 1800 году, произвело сенсацию, но он исчез за Солнцем до того, как удалось провести достаточно наблюдений, чтобы рассчитать его орбиту с достаточной точностью, чтобы узнать, где он снова появится. Многие астрономы соревновались за честь найти его снова, но Гаусс победил. Его успех основывался на новом методе обработки ошибок в наблюдениях, который сегодня называется методом наименьших квадратов. После этого Гаусс много лет работал астрономом и опубликовал крупную работу по вычислению орбит — числовая сторона такой работы была для него гораздо менее обременительна, чем для большинства людей. Как чрезвычайно преданный подданный герцога Брауншвейгского и, после 1807 года, когда он вернулся в Геттинген в качестве астронома, герцога Ганноверского, Гаусс чувствовал, что его работа имеет общественную ценность.

Подобные мотивы побудили Гаусса принять вызов по обследованию территории Ганновера, и он часто отсутствовал в полевых условиях, отвечая за наблюдения. Проект, который длился с 1818 по 1832 год, столкнулся с многочисленными трудностями, но привел к ряду достижений. Одним из них было изобретение Гауссом гелиотропа (прибора, отражающего солнечные лучи в виде сфокусированного луча, который можно наблюдать на расстоянии нескольких миль), что повысило точность наблюдений. Другим было его открытие способа сформулировать понятие кривизны поверхности. Гаусс показал, что существует внутренняя мера кривизны, которая не меняется, если поверхность изгибается, но не растягивается. Например, круглый цилиндр и плоский лист бумаги имеют одинаковую внутреннюю кривизну, поэтому на бумаге можно делать точные копии фигур на цилиндре (как, например, в полиграфии). Но сфера и плоскость имеют разную кривизну, из-за чего невозможно составить абсолютно точную плоскую карту Земли.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас

Гаусс опубликовал работы по теории чисел, математической теории построения карт и многим другим предметам. В 1830-х годах он заинтересовался земным магнетизмом и участвовал в первом в мире исследовании магнитного поля Земли (для его измерения он изобрел магнитометр). Вместе со своим геттингенским коллегой, физиком Вильгельмом Вебером, он сделал первый электрический телеграф, но некоторая ограниченность помешала ему энергично заняться изобретением. Вместо этого он извлек важные математические следствия из этой работы для того, что сегодня называется теорией потенциала, важной ветви математической физики, возникающей при изучении электромагнетизма и гравитации.

Гаусс также писал о картографии, теории картографических проекций. За свое исследование карт, сохраняющих угол, он был удостоен премии Датской академии наук в 1823 году. Эта работа была близка к предположению, что комплексные функции комплексной переменной обычно сохраняют угол, но Гаусс не сделал этого фундаментального утверждения. ясное понимание, оставив его Бернхарду Риману, который глубоко ценил работу Гаусса. У Гаусса были и другие неопубликованные идеи о природе сложных функций и их интегралов, некоторые из которых он поделился с друзьями.

На самом деле Гаусс часто отказывался публиковать свои открытия. Будучи студентом в Геттингене, он начал сомневаться в априорной истинности евклидовой геометрии и подозревал, что ее истинность может быть эмпирической. Для этого должно существовать альтернативное геометрическое описание пространства. Вместо того чтобы опубликовать такое описание, Гаусс ограничился критикой различных априорных защит евклидовой геометрии. Казалось, он постепенно убедился, что существует логическая альтернатива евклидовой геометрии. Однако, когда около 1830 года венгр Янош Бойяи и русский Николай Лобачевский опубликовали свои отчеты о новой, неевклидовой геометрии, Гаусс не смог последовательно изложить свои собственные идеи. Можно объединить эти идеи в впечатляющее целое, в котором его концепция внутренней кривизны играет центральную роль, но Гаусс так и не сделал этого. Одни приписывали эту неудачу его врожденному консерватизму, другие — его непрекращающейся изобретательности, которая всегда влекла его к очередной новой идее, третьи — его неспособности найти центральную идею, которая управляла бы геометрией после того, как евклидова геометрия перестала быть уникальной. Все эти объяснения имеют некоторые достоинства, хотя ни одно из них не может быть исчерпывающим объяснением.

Другой темой, по которой Гаусс в значительной степени скрывал свои идеи от современников, были эллиптические функции. В 1812 году он опубликовал отчет об интересном бесконечном ряду и написал, но не опубликовал отчет о дифференциальном уравнении, которому удовлетворяет бесконечный ряд. Он показал, что ряды, называемые гипергеометрическими рядами, могут использоваться для определения многих знакомых и многих новых функций. Но к тому времени он знал, как использовать дифференциальное уравнение для создания очень общей теории эллиптических функций и полностью освободить теорию от ее истоков в теории эллиптических интегралов. Это был крупный прорыв, потому что, как обнаружил Гаусс в 179 г.0s теория эллиптических функций, естественно, трактует их как комплекснозначные функции комплексного переменного, но современная теория комплексных интегралов была совершенно неадекватна для этой задачи. Когда часть этой теории была опубликована норвежцем Нильсом Абелем и немцем Карлом Якоби примерно в 1830 году, Гаусс заметил своему другу, что Абель прошел одну треть пути. Это было точно, но это печальная мера личности Гаусса, поскольку он все еще воздерживался от публикации.

Гаусс сделал меньше, чем мог бы, и в других отношениях. Геттингенский университет был небольшим, и он не стремился расширить его или набрать дополнительных студентов. К концу его жизни через Геттинген прошли математики калибра Рихарда Дедекинда и Римана, и он был полезен, но современники сравнивали его стиль письма с жидкой кашицей: он ясен и устанавливает высокие стандарты строгости, но ему недостает мотивации и может быть медленным и утомительным, чтобы следовать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *