Стереометрия с нуля: много полезных ссылок и решенных задач. И практика в субботу!

Содержание

много полезных ссылок и решенных задач. И практика в субботу!

Разберем стереометрию с нуля!

Здравствуйте!

Знаете ли вы, сколько процентов из участников нашего Репетиционного ЕГЭ онлайн решили задачу 14 (Стереометрия)? Всего 17 %! Так мало! Кстати, почти все они – участники нашего Онлайн-курса. Добавив тех, кто решил только пункт (а), получим 30 %.

Что делать?

Ребята, так не годится! Задача 14 – не самая сложная во второй части ЕГЭ. Да, она длинная. Надо строить чертеж, грамотно записывать доказательство и не ошибиться в расчетах. Но она вполне стандартная. Можно и нужно учиться ее решать.

В этом вам помогут материалы нашего портала.

Большой раздел «Стереометрия». Здесь – вся необходимая теория.

Формулы для площадей многогранников и тел вращения.

Все секреты решения задачи 8 (из первой части вариантов ЕГЭ).

Вся теория для решения задачи 14.

Да, здесь, на этой странице.

Классификация задач 14 (стереометрия):

Это новый авторский материал Анны Малковой. Классификация задач 14 (стереометрия). Все в одной таблице: формулировки задач и методы их решения. Пригодится и старшеклассникам, и учителям!

Для тех, кто любит координатный метод больше, чем классический. Векторы и метод координат.

Четыре совета:

Несколько полезных советов тем, кто решает задачи по стереометрии.

1. Учитесь строить чертежи. Изучите правила построения чертежей. Хороший чертеж – это половина решения. И если чертеж вам не нравится, бросайте его и рисуйте другой.

2. Выучите Теорему о прямой и параллельной ей плоскости. Ее очень трудно найти в учебнике. Однако множество задач решаются с помощью этой теоремы. Да, и задача 14 из ЕГЭ-2019 тоже решалась с ее помощью! Кто учился на нашем онлайн-курсе – те справились.

3. Запомните формулу для площади прямоугольной проекции фигуры. И посмотрите, как решаются с ее помощью задачи на нахождение угла между плоскостями.

4. Учитесь правильно оформлять решения. Часто старшеклассники говорят: «Сделаем параллельный перенос и перенесем прямую АВ так, чтобы она проходила через точку М». Однако, если вы решили ввести параллельный перенос, вам надо его описать. В каком направлении, на какое расстояние. И зачем вам лишние сложности? Намного проще сказать: «Проведем через точку М прямую, параллельную АВ.

А здесь вы найдете 12 задач №14 по стереометрии – с решением и оформлением, как на ЕГЭ. И еще 7 лайфхаков!

Главный секрет:

Да, и самый главный секрет. Для того чтобы все эти ценные материалы принесли вам пользу – ими надо пользоваться, а не просто сохранить в закладках. Практиковаться. Решать задачи. И начать можно прямо сейчас, на нашем Онлайн-курсе.

Онлайн занятия в эти выходные:

В субботу, 9 ноября, у нас Онлайн-урок по стереометрии, задача 14. И будут еще. А предыдущие уроки доступны в записи.

А в воскресенье 10 ноября

мы начинаем тригонометрию. Прямо с нуля! И у вас есть шанс разобраться в том, чего вы не понимали в школе.

Что такое тригонометрический круг.

Можно ли вызвать привидение с помощью формул приведения (спойлер: нет. Они нужны для другого).

Как решать тригонометрические уравнения, задача 13, и особенно – пункт (б).

И почему у большинства старшеклассников в задаче 13 пункт (а) получается, а (б) – нет.

Все это 10 ноября, онлайн, в 10.00 по Москве.

Присоединяйтесь к нашему супер-крутому курсу!

 

Курс «11 класс, 100 баллов»

— Теория: текст + 72 ч видеоразборов.
— 120 ч. онлайн занятий с Анной Малковой, 8 в месяц.
— ДЗ с проверкой, чат, 9 репетиционных ЕГЭ.

 

Введение в стереометрию [wiki.eduVdom.com]

Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. К числу геометрических фигур относятся, например, треугольник, квадрат, круг, сфера и т. д.

Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии.

Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости.

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Основные геометрические фигуры в стереометрии: точки, прямые, плоскости.

При решении стереометрических задач очень важно научиться распознавать и выделять в пространственных образах разнообразные плоские фигуры.

Аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве:

  • Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей.

  • Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (т.е. прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую).

  • Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все точки этих плоскостей (т.е. плоскости пересекаются по прямой).

Следствия:

  • Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

  • Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

  • Через две прямые плоскость можно провести не всегда. Две прямые, через которые нельзя провести плоскость, называются скрещивающимися.

Пример. Горизонтальная прямая, проведенная на одной стене комнаты, и вертикальная прямая, проведенная на противоположной стене, являются скрещивающимися.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются друг с другом, сколько бы их ни продолжать, но их не называют параллельными.

Параллельными называются только такие две непересекающиеся прямые, через которые можно провести плоскость.

Различие между параллельными прямыми и скрещивающимися наглядно характеризуется тем, что две параллельные прямые имеют одно и то же направление, тогда как направления скрещивающихся прямых различны.

Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой (расстояние измеряется по перпендикуляру), тогда как точки одной из скрещивающихся прямых находятся на различных расстояниях от другой.

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина отрезка MN, соединяющего ближайшие друг к другу точки М и N (рис.1), лежащие на скрещивающихся прямых. Прямая MN перпендикулярна обеим скрещивающимся прямым.

Рис.1

Расстояние между параллельными прямыми определяется, как в планиметрии. Расстояние между пересекающимися прямыми считается равным нулю.

Две плоскости могут пересекаться (по прямой линии) или не пересекаться. Непересекающиеся плоскости называются параллельными.

Прямая и плоскость также либо пересекаются (в одной точке), либо не пересекаются; в последнем случае говорят, что прямая параллельна плоскости (или что плоскость параллельна прямой).


При решении задач на комбинацию тел вращения и многогранников необходимо помнить:



Геометрия с нуля. Стереометрия — Центр компьютерного обучения «Специалист» — Учёба.ру

Я б в нефтяники пошел!

Пройди тест, узнай свою будущую профессию и как её получить.

Химия и биотехнологии в РТУ МИРЭА

120 лет опыта подготовки

Международный колледж искусств и коммуникаций

МКИК — современный колледж

Английский язык

Совместно с экспертами Wall Street English мы решили рассказать об английском языке так, чтобы его захотелось выучить.

15 правил безопасного поведения в интернете

Простые, но важные правила безопасного поведения в Сети.

Олимпиады для школьников

Перечень, календарь, уровни, льготы.

Первый экономический

Рассказываем о том, чем живёт и как устроен РЭУ имени Г.В. Плеханова.

Билет в Голландию

Участвуй в конкурсе и выиграй поездку в Голландию на обучение в одной из летних школ Университета Радбауд.

Цифровые герои

Они создают интернет-сервисы, социальные сети, игры и приложения, которыми ежедневно пользуются миллионы людей во всём мире.

Работа будущего

Как новые технологии, научные открытия и инновации изменят ландшафт на рынке труда в ближайшие 20-30 лет

Профессии мечты

Совместно с центром онлайн-обучения Фоксфорд мы решили узнать у школьников, кем они мечтают стать и куда планируют поступать.

Экономическое образование

О том, что собой представляет современная экономика, и какие карьерные перспективы открываются перед будущими экономистами.

Гуманитарная сфера

Разговариваем с экспертами о важности гуманитарного образования и областях его применения на практике.

Молодые инженеры

Инженерные специальности становятся всё более востребованными и перспективными.

Табель о рангах

Что такое гражданская служба, кто такие госслужащие и какое образование является хорошим стартом для будущих чиновников.

Карьера в нефтехимии

Нефтехимия — это инновации, реальное производство продукции, которая есть в каждом доме.

Как получить «пятёрку» по геометрии и успешно сдать ЕГЭ? Новые курсы по математике для старшеклассников!

Главная > О Центре > Новости

Записывайте своего ребенка на курсы по геометрии

Проблемы с геометрией в школе, а скоро экзамены? Исправить ситуацию помогут новые курсы Центра «Специалист» по математике!

Если задачи по алгебре школьники еще хоть как-то решают, то с геометрией дела намного хуже. Согласно статистике, 12% детей не умеют применить теорему Пифагора; 35% не могут решить простейшую задачу на «прямоугольный треугольник», а более 65% не знают теоремы синусов и косинусов.

Результаты ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ это доказывают: хуже всего школьники справляются именно с задачами по геометрии. Возможно, дело в том, что им не хватает школьных часов для полного усвоения программы. А может, Вашим детям просто не повезло с учителями.

 

 

Предлагаем курсы для старшеклассников на основе уникальной методики преподавателей Центра «Специалист» при МГТУ имени Н.Э. Баумана:

  • «Математика с нуля» (16 ак.ч)
  • «Математика с нуля. Степени, корни, иррациональные и показательные уравнения, часть 2» (8 ак.ч)
  • «Геометрия с нуля. Планиметрия» (20 ак.ч)
  • «Геометрия с нуля. Стереометрия» (8 ак.ч)

Учебные программы основаны на материалах заданий ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ (КИМов) с учетом требований ФИПИ.

«Математика с нуля» – уникальный курс для тех, кто не дружит с цифрами, испытывает трудности при решении задач и пугается от мысли о предстоящем экзамене или обычной контрольной. Если Вы не можете перемножить две скобки, решить уравнение типа «0,5 х – 4 = 7», путаетесь в дробях и не помните, что такое «дискриминант», то этот курс для Вас!

Мастер-класс «Математика с нуля. Степени, корни, иррациональные и показательные уравнения, часть 2» – этот мастер-класс продолжает курс «Математика с нуля». Мы рекомендуем его тем, кто хочет научиться решать разные типы уравнений, вычислять значения выражений с корнями и степенями, разбираться в логарифмах. Напомним, что без хорошего знания «степеней, корней» более 60% материала, который проходят в 10-11 классах, освоить просто невозможно. Пройдите наш практикум – и степени с корнями больше не будут Вашей головной болью.

Курс «Геометрия с нуля. Планиметрия» включает в себя основные темы по планиметрии (её изучают до 9 класса) и КИМы. Школьники научатся вычислять площади и периметры фигур, вспомнят основы работы с векторами и окружностями. Смогут легко находить синусы, косинусы, тангенсы углов и решать другие сложные задачи. Курс поможет систематизировать и углубить знания, чтобы получить на госэкзаменах самые высокие баллы. А главное – заложит основы для изучения стереометрии (10-11 класс).

Курс «Геометрия с нуля. Стереометрия» научит решать элементарные задачи по геометрии в пространстве, которые входят в КИМы. Это важно для успешной сдачи экзаменов, ведь 3 из 21 задачи ЕГЭ посвящены стереометрии. Курс создаст необходимую базу для продолжения обучения на курсах подготовки к ЕГЭ по математике. Программа включает минимум теории и максимум методов решения экзаменационных задач по геометрии.

 

 

 

 

Почему стоит выбрать наши курсы для старшеклассников?

  • Мы гарантируем подготовку в указанные сроки и 100% качество обучения.
  • Мы уже составили точное расписание курсов ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ на 2021 год.
  • Наша методика основана на традициях качества одного из лучших вузов страны – МГТУ имени Н.Э. Баумана.
  • Преподаватели Центра имеют реальный опыт подготовки старшеклассников к успешной сдаче ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ.
  • Занятия на курсах обойдутся дешевле, чем уроки с репетитором.
  • Курсы проводятся в будние дни после 15:00 или по выходным.
  • Есть возможность обучения онлайн с подключением к реальному занятию в классе по системе InClass ®.
  • Наши учебные комплексы находится в 6 районах Москвы.

Статистика Центра «Специалист» такова: 100% выпускников курсов подготовки к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ 2010-2020 гг. поступили в те ведущие вузы России, в которые планировали.

Хотите подружиться с математикой и сдать экзамены на все сто? Приходите в «Специалист»!

17.04.2017


Ближайшие группыСортировать:по датепо возрастанию ценыпо убыванию ценыпо популярностипо новинкампо скидке

Главная > О Центре > Новости

Методические подходы к организации пошагового решения обучающимися средней школы задач по стереометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.1 ББК 22.151.1

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОРГАНИЗАЦИИ ПОШАГОВОГО РЕШЕНИЯ ОБУЧАЮЩИМИСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

СЕРЮКОВА А.С., ПОДПЯТНИКОВА С.А. ФГБОУВО ЮУрГГПУ, Челябинск, Россия e-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация

В статье рассмотрены проблемы, возникающие при решении стереометрических задач и предложены пути их решения на основе выделенных этапов по организации работы с требованиями задачи. На конкретных примерах показана структура деятельности учителя и обучающихся при формировании умения пошагового решения задач по стереометрии.

Ключевые слова: методика обучения математики, стереометрия, пространственное воображение, этапы решения.

Актуальность. Стереометрия формирует и развивает у обучающихся пространственные представления и воображение, логическое мышление, формирует умение выделять пространственные свойства и отношения объектов и оперировать ими в процессе решения задачи. Умение решать стереометрические задачи является одним из основных показателей уровня сформированности у выпускников школ математического мышления и глубины понимания изученного учебного материала. Поэтому контрольно-измерительные материалы (КИМ) по математике содержат задачу повышенного и высокого уровня сложности по стереометрии. На едином государственном экзамене (ЕГЭ) около 98% старшеклассников допускают ошибки при решении весьма несложной стереометрической задачи [2]. Многие обучающиеся испытывают большие трудности не только в поиске решения задачи, дополнительных построениях

пространственных объектов с учетом предлагаемых задач, но и в понимании методов построения объемных фигур, их взаимного расположения в трехмерном пространстве [5]. Отсутствие понимания объясняется тем, что на уроках многие учащиеся стремятся просто выучить изучаемый материал, не желая понимать его полностью [4, 10].

По мнению Саниной Е.И.: «Проведение определения стереометрических отношений должно основываться не просто на изучении наглядного материала, а в совокупности с интенсивным обдумыванием и перестройкой имеющихся данных, т.е. осуществление

определенной «интеллектуализации» [6]. В данном ракурсе под образом следует понимать определенную единицу пространственного мышления. Такие расчеты основываются на активной мыслительной деятельности, позволяющей создать ряд пространственных образов, которые лежат в рамках плоскости решения задач. Сам процесс осуществления разбора и решения задач, связанных с расположением пространственных фигур основан на мыслительных действия по формированию в сознании образов стереометрического расположения в пространстве фигур с определением взаимосвязи между двумерным образом и реальным положением фигур в пространстве. В процессе такой деятельности может возникнуть проблемы, не позволяющие довести решение до логического завершения.

Учитывая, что решение некоторых задач ученые-математики искали несколько лет. Но также есть некоторые задачи, которые, спустя не один десяток лет, до сих пор небыли решены. Одним из ярких примеров таких задач является Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера, которой не одна сотня лет. За доказательство данной гипотезы в США математический институт Клэя намерен вручить один миллион долларов. Сущность гипотезы основана на том, что ранг кривой можно определить, зная порядок нуля дзета-функции. За счет доказательства данной гипотезы современная наука может далеко продвинуться вперед. Большого прогресса в доказательстве достигли несколько математиков из США и Англии в 1977 году. Но они смогли

найти доказательство лишь для единственного частного случая [7]. На этапе стимулирования преодоления трудностей при решении стереометрических задач можно привести данные исторические сведения или использовать другие методические подходы.

Цель работы. Выявить и описать методические подходы к организации пошагового решения обучающимися средней школы задач по стереометрии.

Во время изучения стереометрии принято выделять следующие этапы:

1. в 1-9 классах создание условий для формирования начальных представлений о пространственных фигурах;

2. в 10-11 классах ведение систематического курса стереометрии.

В систематический курс стереометрии входят следующие темы:

1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

4. Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.

5. Многогранники.

6. Тела вращения.

7. Площадь поверхностей и объем геометрических тел.

8. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Для достижения планируемых результатов изучения раздела «Стереометрия» учителю необходимо:

— использовать различные формы организации учебно-познавательной деятельности обучающихся;

— сконструировать банк заданий, способствующих формированию у обучающихся умения решать задачи, в том числе представленные в КИМ ЕГЭ;

— применять алгоритмическое предписание по этапному решению задач, развивая тем самым аналитические и логические умения обучающихся, расширяя их познавательный интерес и формируя у них творческие способности.

Материалы и методы. С целью ликвидации причин, связанных с неумением обучающимися решать стереометрические задачи высокой сложности без вмешательства педагога, необходимо определить алгоритм решения.

Следует выделить основные этапы обучения и разложить сложное решение на несколько более простых задач. Также нужно чтобы обучающиеся смогли научиться решать трудные задачи не только без посторонней помощи, но и без применения аналогий.

Обучение учащихся старших классов самостоятельному решению сложных стереометрических задач возможно через формирование у них навыков, нацеленных на применение общего подхода и адаптацию его под ту или иную задачу с правильным выбором направлений поиска способа решения неизвестных им ранее алгоритмов решения, для чего необходимо:

1. Сформировать у учащихся глубокие знания по теории решения задач. При этом преподнесение теории не должно отрываться от практики. Не стоить выделять отдельные теоретические темы, необходимо вводить теоретические знания вместе с решением задач на протяжении всего периода обучения, но при этом регулярно возвращаться к тому или иному понятию и повторять его.

2. Выработать у учеников и закрепить на практике четкие умения и навыки для реализации простых действий, выступающих частью решения сложных стереометрических задач, к которым следует отнести такие этапы работы: проведение анализа условий задачи, построение чертежей стереометрических фигур, поиск способа решения через систематизацию условий, проверку полученного результата, конечный анализ полученного решения.

3. Проработать с учениками основные способы решения стереометрических задач высокой сложности с обязательным закреплением полученных умений через решение ряда геометрических задач с применением каждого способа [8, 9, 10].

Управление процессом решения

стереометрических задач основывается на ряде поэтапных действий, которые берут свою основу в геометрии, но в первую очередь до учащихся необходимо довести информацию по разделу стереометрии, т.е. необходимо разложить весь сложный мыслительный процесс решения стереометрических задач на более простые подзадачи [1]. В качестве первого этапа решения задач выступает анализ условия задачи, который можно разделить на несколько более простых действия: а) определение точной области условий задачи с выявлением всех ее структурных элементов; б) определение

зависимостей элементов каждой области задачи и их свойств; в) выявление сути условий задачи. На втором этапе решения стереометрической задачи определяется план ее решения, а также формируется основная идея ее решения. К тому же второй этап решения задачи выступает ведущим в определении искомых величин и выборе направлений и способов решения, построение стратегии. Переходя к третьему этапу решения стереометрических задач в работу включается уже выстроенный план решения, т.е. план получает реализацию на практике. Подробно описывается решение, при необходимости корректируется, выбирается методика решения, решение задачи записывается и оформляется. Четвертый этап деятельности, направленной на решение стереометрической задачи, направлен на обсуждение и анализ процесса решения. Приводится итоговое решение задачи, осуществляется анализ решения и систематизация полученных в процессе решения знаний. На основе описанного алгоритма решения стереометрической задачи можно более четко выделить следующие этапы: этап 1 — осуществление анализа условий задачи;

этап 2 — построение схемы условий задачи; этап 3 — выбор способов решения задачи; этап 4 — осуществление деятельности по решению задачи;

этап 5 — проведение проверки полученного решения;

этап 6 — окончательное формулирование ответа задачи.

Обратим внимание на первый этап. При внимательном прочтении любой задачи по геометрии, можно заметить, что в задаче прослеживается либо требование, либо вопрос, требующий ответа, основываясь на условиях, которые указаны в задаче. Поэтому при изучении условий стереометрической задачи, необходимо провести анализ ее условий, определить поставленные требования, на основе которых задача и будет решена. Приведем пример стереометрической задачи:

Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза в точке касания с вписанной окружностью делится на отрезки длинной 7 см и 10 см [3].

После прочтения задачи сразу же можно заметить, что в ней присутствует определенное утверждение, а именно: «в прямоугольном треугольнике гипотенуза в точке касания с

вписанной окружностью делится на отрезки длинной 7 см и 10 см». Далее необходимо выяснить, что надо найди или доказать. Требование данной стереометрической задачи заключается в том, что нужно найти катеты прямоугольного треугольника. Теперь на основе формулировки задачи необходимо вывести ее условия. Особенностью стереометрической задачи выступает то, что ее условие содержит несколько условий по решению отдельных элементарных задач, т.е. исходное задание подлежит расчленению на несколько более простых заданий. Поэтому утверждение и требования, установленные в условиях задачи, необходимо разделить на более простые условия и элементарные части.

В рассматриваемом варианте задачи можно выделить ряд следующих простых условий:

1) рассматриваемый треугольник является прямоугольным;

2) в данный треугольник вписана окружность;

3) гипотенуза точкой касания с окружностью делится на два отрезка;

4) длина первого отрезка составляет 7 см;

5) длина второго отрезка 10 см.

Требование данной задачи можно разделить

на два простых:

1) найти длину первого катета треугольника;

2) найти длину второго катета треугольника.

Глубина анализа в основном зависит от того,

знаком ли учащийся со стереометрическими задачами, и знает ли он общий способ их решения. Если да, то достаточно провести простой анализ, который сводится к определению вида задачи; если нет, то для отыскания решения стереометрической задачи необходим более подробный анализ.

В некоторых случаях анализ решения задачи должен быть оформлен письменно. В данном случае следует использовать различные схемы, позволяющие представить условия задачи в более простом виде. Схематическая запись решения стереометрических задач представляет собой второй этап. Схематическая запись стереометрических задач заключается в необходимости использования чертежа той фигуры, которая рассматривается в задаче. В момент построения такого чертежа нужно придерживаться следующих требований.

В основе чертежа лежит схематический рисунок основного объекта задачи, т.е. рисунок геометрической фигуры, нескольких фигур или их частей, которые имеют буквенное

обозначение или иных знаков, используемых для обозначения частей рисунка, представленного на схеме. Если в условиях задачи присутствуют обозначения фигуры или какой-либо ее части, то данные обозначения также переносятся на чертеж, если же обозначения специально не введены, то на чертеже используются произвольные обозначения, которые могут быть основаны на наборе наиболее распространенных опознавательных знаков.

Рассмотрим на примере одной из стереометрических задач, как строятся их схематические записи при помощи чертежей.

Задача 2. Представлена трапеция, диагональ которой проходит перпендикулярно к основаниям. Большое основание имеет длину 13 см, а тупой угол, который принадлежит ей составляет 120о. К тупому углу принадлежит боковая сторона, равная также 13 см. Необходимо определить среднюю линию трапеции [3].

Рис. Трапеция

Проводя анализ условий задачи, необходимо отметить, что основным объектом задачи является трапеция, в которой одна диагональ имеет перпендикулярное положение по отношению к ее основаниям. Следует обратить внимание, что при начертании трапеции, начав ее построение с боковых сторон, обязательно будет допущена ошибка. Поэтому построение чертежа трапеции необходимо начать с начертания диагонали, указанной в условиях задачи, так как она перпендикулярна основаниям трапеции. Обозначение диагонали можно осуществить через указание прописной буквы «а». Данную диагональ следует определить как вертикальный отрезок, из концов которого выходят основания трапеции -два горизонтальных отрезка. При таком алгоритме начертания трапеции видно, что углы, принадлежащие вершинам трапеции -тупые. На основе условий задачи можно определить, что тупой угол, принадлежащий

большому основанию, имеет 120о. Также отражено, что вершина данного угла выступает одновременно и одним из концов построенной диагонали. С данного момента построить трапецию становится намного проще. Далее необходимо обозначить все вершины трапеции, провести в ней среднюю линию, а данный в задаче тупой угол отметить дугой и подписать градусную меру (рис.).

После этого необходимо записать все условия и требования данной задачи, пользуясь принятыми на рисунке 1 буквенными обозначениями. Дано:

1) ADHCB;

2) AD±AC;

3) АС±СВ;

4) ^DAB = 120°;

5) AD = 13 см;

6) АВ = 6 см;

7) АМ = MB.DN = NC.

Найти: MN.

Сразу же после того, как были сделаны анализ задачи и ее чертеж, которые считаются обязательными этапами для нахождения способа решения стереометрической задачи, необходимо осуществить сам поиск способа ее решения. Это и есть третий этап процесса решения стереометрической задачи. Рассмотрим его на примере последней задачи. Прежде чем приступить к поиску способа решения данной задачи, необходимо вспомнить, средняя линия трапеции расположена параллельно к основаниям. Поэтому MN параллельна AD и MN параллельна ВС. При дальнейшем решении необходимо применение теоремы о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и длина ее равна полу сумме длин оснований. Данная теорема выступит основным правилом для решения рассматриваемой задачи.

Нахождение способа решения задачи становится переходом к следующему, четвертому этапу решения задачи по стереометрии. 5С = 0,5 •б см = 3 см.

= (££+££)= (3+13) = 8 см.

2 2

В процессе решения задач учащиеся совершают многочисленные ошибки, исправление которых часто вызывает большие затруднения. Основной причиной является не столько непонимание учащимся сути допущенной ошибки, сколько неумение их обнаружить. В связи с этим, после решения задачи нужно удостовериться в том, что найденное решение верное, что оно соответствует и удовлетворяет всем условиям и требованиям задачи. Это и есть пятый этап процесса решения стереометрических задач. В методической литературе всего существует два способа проверки стереометрических задач:

— составить и решить обратную задачу;

— решить данную задачу совершенно другим способом.

Для проверки задачи чаще всего используют первый способ. Данный метод довольно универсален, так как для любой задачи возможно составить обратную. Решение задачи другим способом — метод довольно сложный, потому что данная работа является по большей мере творческой, помимо этого не каждый учащийся способен найти хотя бы один способ решения стереометрической задачи.

Рассмотрим на примере второй задачи другой способ ее решения. Для отыскания другого способа решения стереометрической задачи, существуют различные методы: построение другой модели задачи, отличной от используемой; дополнение условия задачи сведениями, которые не повлияют на конечный результат; описание практического решения ситуации, представленной в задаче. В данной задаче возможно дополнение сведеньями. Изначально решить вторую задачу нам помогло свойство средней линии трапеции. Также осуществить решение данной задачи возможно, воспользовавшись теоремой Пифагора и синусом угла. Это и будет другой способ решения.

2 способ решения. ЛС = •

cos 30° = 7 • — = 3,5V3.

2

Из прямоугольного А ЛСД: ЛД2 = CD2 ЛС2 = 144 — 36,75 = 107,75 ЛД = 0,5 • V429 см.

„ (ВС+ЛО) 3,5+0,5 • V429

Средняя линия =-=-=

1,75 + 0,25 • V429 = 6,9 см.

Проверив решение и определив его верность, необходимо четко сформулировать и записать его. Данный этап является завершающим в решении стереометрической задачи (шестой этап).

Если учащиеся будут придерживаться данных этапов, то это даст им возможность узнать приемы решения стереометрических задач, сформировать умение использовать полученные знания в » измененных» ситуациях, «нетипичных» задачах. Процесс решения по данным, рассмотренный в разрезе приведенных этапов, дает возможность формирования и развития таких качеств у обучающихся, которые формируют аналитическую склонность, развивают способность освоения новой информации, логическое мышление,

основанное на алгоритмах исследовательской работы. К тому же приобретенные при решении стереометрических задач навыки, позволят повысить эффективность подготовки к ЕГЭ по геометрии, а также при определении профессиональных интересов учащихся, связанных с математикой.

Стремление к введению инновационных

методов обучения подталкивает педагогов к созданию более эффективных и продуктивных способов решения задач по данному разделу. Данный метод обосновывается своей структурированностью. Использование этого алгоритма на уроках по геометрии в 10 классе поможет педагогу научить решать стереометрические задачи более эффективно и

быстро, так как данный способ позволяет выстраивать новую программу обучения для старшеклассников. Главная идея данного метода направлена на результат более детального способа изучения и решения геометрических задач, путем их непосредственного поэтапного анализа.

Список литературы

1. Бордовская Н.В. Педагогика: учебное пособие /Н.В. Бордовская, А.А. Реан. — СПб.: Питер, 2006. — 304 с.

2. Журавлева Н.А. Интерпретация критериев проверки заданий с параметром ЕГЭ по математике /Н.А. Журавлева // Современная система образования: опыт прошлого, взгляд в будущее. — 2013. — №2. — С. 62-67.

3. Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс: базовый и профил. уровни / Б.Г. Зив. — М.: Просвещение, 2011. — 159 с.

4. Крайнева С.В. Психологические особенности процесса решения прикладных естественнонаучных задач / С.В. Крайнева, О.Р. Шефер //Психология обучения. — 2018. — №6. — С. 139-145.

5. Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / М.Г. Макарченко // Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. — 2008. — №11. — С. 268-276.

6. Санина Е.И. Развитие пространственного мышления в процессе обучения стереометрии /Е.И. Санина, О.А. Гришина // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Психология и педагогика. — 2013. — №4. — С. 99-102.

7. Фильчев Э.Г. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера / Э.Г. Фильчев //Проблемы науки. — 2016. — №4. — С. 19-21.

8. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи /Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. — М.: Просвещение. 1989. — 192 с.

9. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: учеб. пособ. /Л.М. Фридман. -М.: Едиториал УРСС, 2005. — 248 с.

10. Шефер О.Р. Комплексные задачи по физике как средства достижения обучающимися метапредметных и предметных результатов: монография / О.Р. Шефер, Ю.Г. Ваганова. — Челябинск: Край Ра, 2014. — 196 с.

METHODICAL APPROACHES TO ORGANIZING A STEP-BY-STEP SOLUTION FOR STUDENTS OF SECONDARY SCHOOL OF PROBLEMS BY STEREOMETRY

SERYUKOVA A.S., PODPYATNIKOVA S.A. FSBEI HE SUSHPU, Chelyabinsk, Russia e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract

The article discusses the problems that arise when solving stereometric problems and suggests ways to solve them based on the steps outlined for organizing work with the requirements of the problem. The concrete examples show the structure of the teacher and students in the formation of the ability to step-by-step solving problems in stereometry.

Keywords: mathematics teaching methodology, stereometry, spatial imagination, solution steps.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Две точки

Определение расстояния:
Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка   AB.

Точка, лежащая на прямой

Расстояние равно   0.

Точка, не лежащая на прямой

Определение расстояния:
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Две параллельные прямые параллельные прямые

Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.

Две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые

Расстояние равно   0.

Две скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые

Определение расстояния:
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым.

Точка, лежащая на плоскости

Расстояние равно   0.

Точка, не лежащая на плоскости

Определение расстояния:
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние равно   0.

Расстояние равно   0.

Определение расстояния:
Расстоянием от прямой, параллельной плоскости, до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки данной прямой на плоскость.

Две пересекающиеся плоскости

Расстояние равно   0.

Две параллельные плоскости

Определение расстояния:
Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую плоскость (все такие перпендикуляры имеют одну и ту же длину).

Парабола   y = a x2 + b x + c,   не пересекающая ось абсцисс, и ось абсцисс

Определение расстояния:
Расстоянием от параболы, не пересекающей ось абсцисс, до оси абсцисс называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на параболе, а другой на оси абсцисс.
Этим кратчайшим отрезком является перпендикуляр, опущенный из вершины параболы на ось абсцисс.

Окружность и не пересекающая ее прямая

Определение расстояния:
Расстоянием между окружностью и непереcекающей ее прямой называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на окружности , а другой конец – на прямой.
Если перпендикуляр   OB,   опущенный из центра   O   окружности на прямую, пересекает окружность в точке   A ,   то расстояние от окружности до прямой равно длине отрезка   AB.

Две непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другойДве непересекающиеся окружности, каждая из которых лежит вне другой

Определение расстояния:
Расстоянием между непересекающимися окружностями называют длину кратчайшего отрезка, один из концов которого лежит на одной окружности, а другой конец – на другой окружности.
Если линия центров   O1O2   пересекает окружность с центром   O1   в точке   A1,   а окружность с центром   O2   – в точке   A2,   то расстояние между окружностями будет равно длине отрезка   A1A2.

Гипербола где   k   – любое, отличное от нуля, число, и ось абсцисс.

Расстояние между гиперболой и осью абсцисс считается равным   0.   поскольку гипербола неограниченно приближается к оси абсцисс (длина отрезка, один из концов которого лежит на гиперболе, а другой конец – на оси абсцисс, может быть сколь угодно малой).

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом

Занятие 86. Тема «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом»

План лекции:

  1. Планиметрия. Аксиомы планиметрии

  2. Основные понятия стереометрии

  3. Аксиомы стереометрии

  4. Следствия из аксиом стереометрии

Планиметрия. Аксиомы планиметрии

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий фигуры и объекты на плоскости. Этот раздел изучается в школе с 7 по 9 класс.

Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»

Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая. Все аксиомы планиметрии можно разделить на группы.

1. Аксиомы принадлежности

1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы расположения

2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

3. Аксиомы измерения

3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4. Аксиомы откладывания

4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

5. Аксиома параллельности

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Основные понятия стереометрии

Стереометрия – это один из самых интересных и важных разделов математики. «Стереометрия» – греческое слово, состоящее из двух частей: «стереос» – «пространственный» и «метрео» — «измеряю». Т.е. «стереометрия» обозначает «измерение в пространстве». Стереометрия знакомит нас с разнообразием пространственных форм, законами их восприятия и изображения. Это геометрия в пространстве. Основными понятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость.

Точка – это идеализированный маленький объект, размером которого можно пренебречь. Евклид определял точку как то, что не имеет частей. Точки на чертежах обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,…

Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, … 

Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности воды, стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ,…

Аксиомы стереометрии

Основные фигуры стереометрии связаны тремя утверждениями, которые приняты за аксиомы – объяснение их очевидно. Очевидно, что в стереометрии на отдельно взятой плоскости справедливы все аксиомы планиметрии. Рассмотрим аксиомы, которые характерны только для пространства.

Аксиома С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиома С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из аксиом стереометрии

Следствие 1. (С4). Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну

Следствие 2. (С5). Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.

Следствие 3. (С6). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Задание для самостоятельного выполнения

  1. Задание 1. Ответить письменно на вопросы:

    1. Назовите способы однозначного задания плоскости

    2. Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой?

    3. Летят три мухи. Когда они будут находиться в одной плоскости?

    4. Какое минимальное число точек определяет: а)прямую, б)плоскость?

    5. Верно ли, что все точки окружности принадлежат плоскости, если эта окружность имеет с плоскостью? Почему?

    6. В плоскости даны три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой. Как расположены стороны ∆АВС относительно плоскости?

    7. Как расположены друг с другом плоскости и ?

    1. Можно ли провести плоскость через данную точку пространства? Если да, то, сколько различных плоскостей можно провести через эту точку?

    2. Какое минимальное число общих точек необходимо задать , чтобы две плоскости совпали?

    3. Может ли стул на трёх ножках, имеющих разную длину, не качаться?

    4. Когда открывают крышку рояля, то её подпирают в одной точке. Какое свойство плоскости при этом применяются?

  1. Задание 2. Выучить все формулировки аксиом планиметрии, аксиом стереометрии и следствия из них.

  2. Задание 3. Познакомится самостоятельно со следствием 4 из учебника (теорема – Разбиение пространства плоскостью на два полупространства)

Пользуясь этим теоретическим материалом и материалом учебника А.В. Погорелов «Геометрия» (7-11 класс стр. 231-237) и (10-11 класс страницы смотрите из оглавления) выполнить письменно 1задание и устно 2 и 3 задание.

Выполненное 1 задание отправить на адрес электронной почты преподавателя: (например Петров-86)

справочный запрос — Рекомендация книги по высокоаксиоматической геометрии

Недавно я начал погружаться в математические воды, помимо вычислений, и с переменным успехом начал изучать кое-что обо «всем».

Но у меня есть одна проблема, а именно, я не могу найти удовлетворительную книгу по геометрии. У меня двойная проблема с выбором книг, и она будет изложена в нескольких пунктах ниже.

Первая проблема в том, что я почти не знаю геометрии.Помимо вычисления площадей основных форм и нескольких очень простых теорем о хордах и окружностях, я — чистый лист.

Вторая проблема, которая у меня есть, заключается в том, что я не могу оперировать неаксиоматическими аргументами, которые изложены во многих хороших книгах. Это не значит, что я считаю их плохими или что-то в этом роде, мне просто нравится точность.

Итак, теперь я перечислю несколько пунктов, которым должна удовлетворять книга, а затем перечислю несколько примеров книг, которые не удовлетворяют, и почему.

Во-первых, книга или книжная серия должны содержать как плоскость, так и трехмерную геометрию (или как это называется).

Упражнения должны быть обильными (не обязательными)

Чем больше теорем доказано в тексте, тем лучше.

Его следует начинать с нуля, а именно с основных аксиом, будь то аксиомы Евклида, Гильберта или любой другой аксиоматизации. Затем следует исходить из этих аксиом и, строго используя их, доказывать теоремы. Из аксиом и затем переходит к результатам, данная книга должна действовать аналогичным образом.

Любые используемые термины должны быть определены заранее или своевременно.

Он должен начинаться с самых основных понятий, таких как линии, круги, углы и т. Д.и переходите к более высоким концепциям, какими бы они ни были.

Теперь о книгах, которые не удовлетворяют и почему. Первый пример — планиметрия и стереометрия Киселева. Эти две книги великолепны, но отсутствие строгости очень расстраивает.

Книга Хартшорна по геометрии хороша, судя по отзывам, но моя проблема с ней в том, что она предполагает знания, которыми я не обладаю. То же самое и с Коксетером.

Заранее благодарю вас за вашу щедрую помощь.

Shapes 3D — Обучение геометрии в App Store

Вы когда-нибудь задумывались, сколько ребер нужно, чтобы создать додекаэдр? С помощью этого приложения вы можете изучать, обучать, исследовать и играть с множеством различных 3D-тел.

Откройте для себя увлекательный мир 3D-форм, таких как призмы, пирамиды, тела вращения и Платоновы тела.Начните с самого простого и постепенно исследуйте самые сложные. Создавайте твердые тела с нуля с помощью нового режима Nets Creator и открывайте сотни уникальных комбинаций цепей.

Фигуры используют возможности мобильных устройств для расширения возможностей учителя и предоставляют возможности для демонстрации вещей, которые нельзя показать с помощью физических инструментов. Это может помочь вызвать интерес и энтузиазм в школьных классах математики на всех уровнях.

Приложение было проверено и одобрено факультетом математики и компьютерных наук Университета Адама Мицкевича в Познани.Он был специально подготовлен для поддержки учителя в классе, но также может использоваться как инструмент для самостоятельного изучения. Отныне для каждой сетки доступна опция сохранения и печати, так что дети могут исследовать твердые тела вне приложения, а также улучшить свои навыки ручного труда.

Функции «Фигуры»:

— Выберите 27 уникальных форм
— Выберите из множества призм, пирамид, Платоновых тел и тел вращения
— Разверните формы в различные сетевые комбинации
— Узнайте о количестве граней, ребер и вершины для каждого твердого тела
— Построение твердых тел с нуля в режиме Nets Creator
— Режим исследования прозрачных поверхностей
— Выделение вершин и ребер
— Цвет выбранных элементов
— Использование простого управления жестами
— Поворот фигур в любом направлении
— Увеличение и выдвигайте жесты сжатия и разведения
— Выровняйте по основному положению двойным касанием
— Сохраните, распечатайте, вырежьте и сложите выбранную сетку
— Изучите трехмерную форму в дополненной реальности! Поместите твердые тела на стол без необходимости распечатывать и складывать их!

Для получения дополнительной информации посетите наш веб-сайт: www.shape.learnteachexplore.com

Если у вас есть какие-либо проблемы или предложения, вы можете связаться с нами по адресу [email protected]

Примечание: «Фигуры» не содержат рекламы, покупок в приложении или любого другого загружаемого контента.

Примечание. Дополненная реальность работает только с устройствами iOS, поддерживающими ARKit. Но не беспокойтесь, если ваше устройство не поддерживает ARkit — 3D-фигуры отлично работают без ARKit.

Коэффициент развития поверхности разрушения и прочность на изгиб сиалоновой керамики

[1] М.Сопицка-Лизер, Т. Павлик и С. Роскош :. Polska Ceramika Vol. 88 (2005), стр.191.

[2] М. Сопицка-Лизер и К. Винярска-Улиг :.Polska Ceramika Vol. 71 (2002), с. 249.

[3] Х. Мандал, Ф. Кара, С. Туран, А. Кара: Key Eng. Матер. Vol. 206-213 (2002), стр.929.

[4] Т. Павлик и М. Сопицка-Лизер: Polska Ceramika Vol. 75 (2003), стр.181.

[5] Т.Павлик и М. Сопицка-Лизер :. Polska Ceramika Vol. 71 (2002), стр.286.

[6] М. Сопицка-Лизер и Т. Павлик: Key Eng. Матер.Vol. 264-268 (2004), с.1005.

[7] J. Cwajna и S. Roskosz: Mater. Charact. Vol. 56 / 4-5 (2006), стр. 442.

[8] С.Стах, С. Роскош, Дж. Сайбо и Дж. Цвайна: Количественное описание перекрытий на трещинах сиалоновой керамики мультифрактальным методом, Настоящий сборник.

DOI: 10.4028 / www.scientific.net / kem.409.394

[9] С.Стах, Я. Сайбо, С. Роскош, Я. Цвайна: Inżynieria Materiałowa 3-4 / 157-158 (2007), стр. 216.

формул. Геометрические фигуры

Видеокурс «Получи пятерку» включает в себя все темы, необходимые для успешной сдачи экзамена по математике на 60-65 баллов. Полностью все задания 1-13 Профильного единого государственного экзамена по математике. Также подходит для сдачи базового экзамена по математике.Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей. Все, что нужно для решения части 1 экзамена по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов на экзамене, и без них не обходится ни стобалльный, ни гуманитарий.

Вся необходимая теория. Быстрые решения, ловушки и секреты экзамена.Разобрал все соответствующие задания ч.1 из банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс состоит из 5 больших тем по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни экзаменационных заданий. Проблемы со словом и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех видов заданий ЕГЭ. Стереометрия.Хитрые решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Визуальное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. Основа для решения сложных задач 2-й части экзамена.

4. Формула радиуса круга, описывающая прямоугольник, проходящий через диагональ квадрата:

5. Формула радиуса окружности, которая описывает прямоугольник через диаметр окружности (описанной):

6.Формула для радиуса круга, описывающая прямоугольник через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны, противоположной этому углу:

7. Формула для радиуса окружности, которая описывает прямоугольник через косинус угла, примыкающего к диагонали, и длину стороны под этим углом:

8. Формула радиуса круга, который описывается для прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла между диагоналями прямоугольника:

1.Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональю.

Прямоугольник. Поскольку прямоугольник имеет две оси симметрии, его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, то есть на пересечении диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Центр тяжести находится в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1: 2 от основания.

Круг. Поскольку круг имеет две оси симметрии, его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии.

Полукруг. У полукруга одна ось симметрии, тогда центр тяжести лежит на этой оси.Другая координата центра тяжести рассчитывается по формуле :.

Многие элементы конструкций изготавливаются из стандартного проката — уголки, двутавры, швеллеры и другие. Все размеры, а также геометрические характеристики прокатных профилей являются табличными данными, которые можно найти в справочной литературе в таблицах нормального ассортимента (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89).

Пример 1. Определите положение центра тяжести фигуры, показанной на рисунке.

Решение:

    Выбираем оси координат так, чтобы ось Ox проходила по самому нижнему габаритному размеру, а ось Oy — по самому левому габаритному размеру.

    Разбиваем сложную фигуру на минимальное количество простых фигур:

    прямоугольник 20х10;

    треугольник 15х10;

    круг R = 3 см.

    Рассчитываем площадь каждой простой фигуры, ее координаты центра тяжести.Результаты расчета заносим в таблицу

    .

Фиг.

Площадь рисунка А,

Координаты центра тяжести

Ответ: С (14.5; 4.5)

Пример 2 . Определить координаты центра тяжести составной секции, состоящей из листа и катаных профилей.

Решение.

    Выбираем оси координат, как показано на рисунке.

    Обозначим цифры цифрами и выпишем необходимые данные из таблицы:

Фиг.

Площадь рисунка А,

Координаты центра тяжести

    Рассчитываем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ: C (0; 10)

Лабораторная работа No.1 «Определение центра тяжести составных плоских фигур»

Назначение: Определите центр тяжести данной плоской сложной фигуры экспериментальными и аналитическими методами и сравните их результаты.

Заказ на работу

    Нарисуйте в блокноте вашу плоскую фигуру по размеру, указав оси координат.

    Определите центр тяжести аналитически.

    1. Разбейте фигуру на минимальное количество фигур, центры тяжести которых мы знаем, как определить.

      Укажите номера областей и координаты центра тяжести каждой формы.

      Рассчитайте координаты центра тяжести каждой формы.

      Вычислите площадь каждой формы.

      Рассчитайте координаты центра тяжести всей фигуры по формулам (нанесите положение центра тяжести на чертеж фигуры):

Установка для экспериментального определения координат центра тяжести методом подвеса состоит из вертикальной стойки 1 (см. Рис.), к которому прикреплена игла 2 … Плоская фигура 3 из картона, в котором легко проткнуть дырку. Отверстия А и IN протыкаются в случайно расположенных точках (желательно на самом удалении друг от друга). Плоская фигура подвешивается на игле сначала за точку НО , а затем в точке IN … Использование отвеса 4 , закрепленной на той же игле, на рисунке карандашом проводится вертикальная линия, соответствующая отвесу.Центр тяжести ИЗ фигура будет расположена на пересечении вертикальных линий, нарисованных, когда фигура подвешена в точках НО и IN .

Площадь параллелограмма 3 формулы. Параллелограмм в задачах

Видеокурс «Получи пятерку» включает в себя все темы, необходимые для успешной сдачи экзамена по математике на 60-65 баллов. Полностью выполнены все задания 1-13 основного экзамена по математике.Также подходит для сдачи базового экзамена по математике. Если вы хотите сдать экзамен на 90-100 баллов, вам нужно решить часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 классов, а также для учителей. Все, что нужно для решения части 1 экзамена по математике (первые 12 задач) и задачи 13 (тригонометрия). А это больше 70 баллов по ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарным наукам.

Вся необходимая теория.Быстрые решения, ловушки и секреты экзамена. Все соответствующие задачи Части 1 из Банка задач ФИПИ отсортированы. Курс полностью соответствует требованиям экзамена.

Курс состоит из 5 больших тем по 2,5 часа каждая. Каждая тема дана с нуля, просто и понятно.

Сотни экзаменационных заданий. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминающиеся алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ.Стереометрия. Хитрые уловки, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — к задаче 13. Понимание вместо зубрежки. Визуальное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функции и производные. База для решения сложных задач 2 части экзамена.

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел о параллелограммах). Если вам нужно решить задачу по геометрии, которой здесь нет, напишите об этом на форуме.Символ √ или sqrt () используется для обозначения действия по извлечению квадратного корня при решении задач; кроме того, в скобках указано радикальное выражение.

Теоретический материал

Пояснения к формулам для нахождения площади параллелограмма:

  1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, сброшенную на эту сторону
  2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
  3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними

Задачи на поиск площади параллелограмма

Задача .
В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корень 82 соответственно. Большая диагональ — 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение .
Обозначим высоту нижнего параллелограмма ABCD, опущенного из точки B на большее основание AD, как BK.
Найдите значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 — 81
AK = 1

Продолжим верхнее основание параллелограмма BC и опустите высоту AN от ее нижнего основания.AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. В получившемся прямоугольном треугольнике ANC находим боковой катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 — 81
NC 2 = √144
NC = 12

Теперь найдите большее основание BC параллелограмм ABCD.
BC = NC — NB
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 — 1 = 11

Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоту этого основания.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Ответ : 99 см 2.

Задание

В параллелограмме АВСД перпендикуляр ВО находится понижен до диагонали AS. Найдите площадь параллелограмма, если АО = 8, ОС = 6, а БО = 4.

Решение .
Опустим еще один перпендикуляр DK на диагональ AC.
Соответственно, треугольники AOB и DKC, COB и AKD попарно равны.Одна из сторон является противоположной стороной параллелограмма, один из углов — это прямая линия, поскольку она перпендикулярна диагонали, а один из оставшихся углов — это внутренний крест, лежащий для параллельных сторон параллелограмма и секущей. диагональ.

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади этих треугольников. Т.е.
Sparal = 2S AOB + 2S BOC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.Где от
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Ответ : 56 см 2.

параллелограмм они называют четырехугольником, у которого противоположные стороны параллельны друг другу. Основные задачи школы по этой теме — вычислить площадь параллелограмма, его периметр, высоту, диагонали. Указанные значения и формулы для их расчета будут приведены ниже.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма, а также противоположные углы равны между собой:
AB = CD, BC = AD,

Диагонали параллелограмма в точке пересечения разделены на две равные части:

АО = OC, OB = OD.2).

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами — параллелограмм.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
5. Четырехугольник, в котором противоположные углы попарно равны, представляет собой параллелограмм

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельны или совпадать.

Биссектрисы смежных углов (смежных с одной стороной) пересекаются под прямым углом (перпендикулярно).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок, начерченный под углом, перпендикулярным основанию. Отсюда следует, что с каждого угла можно нарисовать две высоты.

Формула площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на начерченную высоту.Формула площади имеет вид

Вторая формула не менее популярна в расчетах и ​​определяется следующим образом: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними

На основе приведенных выше формул вы будете знать, как рассчитать площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула расчета периметра параллелограмма имеет вид

то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон.Задачи на параллелограмме будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучим формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма довольно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теорем Пифагора.

Параллелограмм — это четырехугольная фигура, у которой противоположные стороны попарно параллельны и попарно равны. Противоположные углы также равны, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь центром симметрии фигуры.Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры, как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма можно найти разными способами, в зависимости от того, какие исходные данные сопровождаются постановкой задачи.


Ключевой характеристикой параллелограмма, которая очень часто используется для определения его площади, является высота. Высота параллелограмма называется перпендикуляром, который падает из произвольной точки на противоположной стороне на отрезок прямой, образующий эту сторону.
  1. В простейшем случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания и высоты.

    S = DC ∙ h

    где S — площадь параллелограмма;
    а — база;
    h — высота, нарисованная до этого основания.

    Эту формулу очень легко понять и запомнить, если вы посмотрите на следующий рисунок.

    Как видно из этого изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и прикрепить его справа, то в результате мы получим прямоугольник.А как известно, площадь прямоугольника находится путем умножения его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет основанием, а высота прямоугольника — высотой параллелограмма, опущенного на эту сторону.

  2. Площадь параллелограмма также можно найти, умножив длины двух соседних оснований на синус угла между ними:

    S = AD ∙ AB ∙ sinα

    где AD, AB — смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
    α — угол между основаниями AD и AB.

  3. Вы также можете найти площадь параллелограмма, разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.

    S = ½ ∙ AC ∙ BD ∙ sinβ

    где AC, BD — диагонали параллелограмма;
    β — угол между диагоналями.

  4. Также существует формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности.Записывается так:

Квадратная геометрическая фигура — числовая характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром этой фигуры). Размер площади выражается количеством заключенных в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

  1. Формула для площади треугольника по бокам и высоты
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину начерченной высоты сюда
  2. Формула площади треугольника с трех сторон и радиуса описанной окружности
  3. Формула площади треугольника с трех сторон и радиуса вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанный круг.
  4. где S — площадь треугольника,
    — длины сторон треугольника,
    — высота треугольника,
    — угол между сторонами и,
    — радиус вписанной окружности,
    R — радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

  1. Формула квадрата стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
  2. Формула квадрата диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
  3. где S — площадь квадрата,
    — длина стороны квадрата,
    — длина диагонали квадрата.

Формула прямоугольника и квадрата

    Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

    , где S — площадь прямоугольника,
    — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

  1. Формула площади параллелограмма для длины и высоты стороны
    Площадь параллелограмма
  2. Формула площади параллелограмма на двух сторонах и угол между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними.

    abb sin α

  3. где S — площадь параллелограмма,
    — длины сторон параллелограмма,
    — длина высоты параллелограмма,
    — угол между сторонами параллелограмма. .

Формулы квадрата ромба

  1. Формула площади ромба для длины стороны и высоты
    Квадрат ромба , равный произведению длины его стороны и длины высоты, опущенной на эту сторону.
  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Квадрат ромба , равный произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Квадрат ромба , равный половине произведения длин его диагоналей.
  4. где S — площадь ромба,
    — длина стороны ромба,
    — длина высоты ромба,
    — угол между сторонами ромба,
    1, 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

  1. Формула Герона для трапеции

    Где S — Площадь трапеции,
    — длина основ трапеции,
    — длины сторон трапеции,

% PDF-1.6 % 1 0 объект > эндобдж 4 0 obj / ModDate (D: 20170420144842 + 02’00 ‘) / Производитель (Qt 5.3.0) / Тема (Технология поверхностей и покрытий, 206 \ (2011 \) 395-404. Doi: 10.1016 / j.surfcoat.2011.07.037) /Заголовок () / doi (10.1016 / j.surfcoat.2011.07.037) / rgid (PB: 229325074_AS: 99102918447125 @ 1400639385810) / роботы (noindex) >> эндобдж 2 0 obj > транслировать application / pdf

  • G. Cassar
  • Surface & Coatings Technology, 206 (2011) 395-404. DOI: 10.1016 / j.surfcoat.2011.07.037
  • 2016-12-09T10: 33: 24Z2017-04-20T14: 48: 42 + 02: 002017-04-20T14: 48: 42 + 02: 00elsevier.comↂ005B1ↂ005D> sciencedirect.comↂ005B2ↂ005D> true2010-04-236.210.1016 / j.surfcoat.2011.07.037PB: 229325074_AS: 99102918447125 @ 1400639385810noindexТриодная диффузия плазмы; ПВД; Ti – 6Al – 4V; Царапинам; WearQt 5.3.0uuid: e71fb296-e0f2-4eac-bd35-a1ab759b46f4uuid: 25017897-6dd5-4499-acb9-5e70a7b438e7 конечный поток эндобдж 3 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 7 0 объект > эндобдж 8 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 obj > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект > эндобдж 20 0 объект > эндобдж 21 0 объект > эндобдж 22 0 объект > эндобдж 23 0 объект > эндобдж 24 0 объект > эндобдж 25 0 объект > эндобдж 26 0 объект > эндобдж 27 0 объект > эндобдж 28 0 объект > эндобдж 29 0 объект > эндобдж 30 0 объект > эндобдж 31 0 объект > эндобдж 32 0 объект > эндобдж 33 0 объект > эндобдж 34 0 объект > эндобдж 35 0 объект > эндобдж 36 0 объект > эндобдж 37 0 объект > эндобдж 38 0 объект > эндобдж 39 0 объект > эндобдж 40 0 объект > эндобдж 41 0 объект > эндобдж 42 0 объект > эндобдж 43 0 объект > эндобдж 44 0 объект > эндобдж 45 0 объект > эндобдж 46 0 объект > эндобдж 47 0 объект > эндобдж 48 0 объект > эндобдж 49 0 объект > эндобдж 50 0 объект > эндобдж 51 0 объект > эндобдж 52 0 объект > эндобдж 53 0 объект > эндобдж 54 0 объект > эндобдж 55 0 объект > транслировать x \ m 㶑 _W9 ݈ &}; N $ U + FRBR3; n ^) WR

    Математика в Древней Греции — Образование с нуля

    Математика считается одним из старейших, более весомых и сложных компонентов человеческой культуры.История арифметики тысячью нитей связана с историей других наук. Этническая мудрость гласит, что невозможно понять смысл настоящего и цели на будущее, если вы не понимаете и не цените прошлое и не пойдете по математике в 3 классе. Жизнь не стояла на месте. По мере роста населения Земли росла и необходимость сообщать друг другу новости, писать, считать, что способствовало появлению математики. Древние греки были удивительно профессиональными людьми, чему нужно научиться в наше время.В те времена Греция состояла из большого количества небольших государств. Когда нужно было решить важный муниципальный вопрос, жители города собирались на площади, дискутировали, спорили, а затем голосовали. Они были неплохими «спорщиками». По традиции того времени существовало выражение: «Истина возникает в споре! Греки отличались трудолюбием и отвагой. Среди них были замечательные строители, моряки, купцы и художники. Они внесли большой вклад в формирование культуры и науки, особенно арифметики.История показывает, что арифметики в Древней Греции были величайшими математиками в прошлом, и задачи, которые они собирали, сегодня интересны. Значительная часть наших школьных курсов по арифметике, не говоря уже о геометрии, включая математику в четвертом классе, была широко известна грекам. Учитель не начнет изложение новой темы, не говоря уже о новом разделе арифметики, без вводного исторического раздела, который вовлекает учеников. Уроки с историческим материалом никого не оставят равнодушным.Как, знакомя учащихся с основными понятиями геометрии 7-го класса, мы не говорим о греческой математике? Как работает изучение темы «Зона» 8 класс. Как осмысливается связь исторической информации с материалом обсуждаемой темы. История арифметики считается средством повышения познавательной информации учащихся. И это основа воспитательной работы, потому что:

    внимание создает основательные и длительные знания;
    развивает и улучшает качество интеллектуальной работы и обучения, способствует формированию способностей;
    увеличивает чувственное поле для всех психологических процессов.
    Экскурсия в историю может сопровождаться картинками, слайдами, демонстрациями и изучением математики. 5 класс. Математика с момента своего возникновения как наука и намного раньше была тесно связана не только с цивилизацией и практикой, но и с человечеством. культуре и миру. Математические доктрины были разработаны некоторыми людьми, математиками, чьи жизни и судьбы, интересные, поучительные, а иногда и трагические, неотделимы от исторических времен, в которые они были созданы.

    Поговорим о Пифагоре, имя которого называется аксиомой, известной всем. В Древней Греции жил ученый Пифагор (он родился в 580 г. до н. Э. И умер в 500 г. до н. Э.). О его жизни известно мало, но с его именем связано большое количество легенд. Говорят, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне и исследовал древнюю культуру и заслуги науки различных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из аристократии.Круг был принят гигантскими церемониями, за которыми следовали бесконечные испытания. Любой участник категорически отказался от своей принадлежности и поклялся хранить учение основателя в секрете. Например, на юге Италии, которая в то время была греческой колонией, была, например, пифагорейская средняя школа, называемая пифагорейцами. Пифагорейцы занимались арифметикой, философией и естественными науками. Они сделали большое количество важных открытий в математике и геометрии. В школе был указ, согласно которому авторство всех математических дел приписывалось Пифагору.Пифагор был убит в уличном бою во время народного восстания.

    После его смерти ученики окружили имя своего учителя почти всеми легендами, вследствие чего невозможно установить правду о Пифагоре.

    Аксиома Пифагора содержит замечательную ситуацию. Как оказалось, до Пифагора он был известен египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. Подтверждение самого Пифагора до нас не дошло. В реальном времени есть более 100 доказательств.На самом деле вполне вероятно, что один из них принадлежит Пифагору и его ученикам.

    Архимед — вершина научной мысли древнего мира. Архимед явился в 287 г. до н. Э. в греческом городе Сиракузы, где прожил практически всю свою жизнь. Его основателем был Фидий, придворный астроном правителя города Герона. Архимед учился в Александрии, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали крупнейшую в мире библиотеку.

    Сомнительна история о том, что лорд приказал Архимеду выяснить, сделана ли его корона из незапятнанного золота или ювелир присвоил часть золота, сплавив ее с серебром.

    Размышляя об этой проблеме, Архимед однажды пошел в баню и, погрузившись в ванну, обнаружил, что количество воды, сверкающей через край, было точно таким же, как количество воды, вытесненное его туловищем. Это побудило Архимеда решить дилемму короны, и, не долго думая, он выпрыгнул из ванны и, раздевшись догола, помчался домой, громко крича о своем открытии:

    «Эврика! Эврика! » (Греческое: «Найдено! Найдено!»).”

    Во время защиты Сиракуз от римских войск, осаждающих этот город, Архимед сделал подъемные и метательные машины, и «зажигательное зеркало», которым он якобы сжигал корабли, остается загадкой для старателей.

    Сохранившиеся математические работы Архимеда можно разделить на три группы. Работы первой группы приурочены к подтверждению теорем о площадях и размерах криволинейных фигур или тел. К ним относятся трактаты «О сфере и цилиндре», «Об измерении круга», «О коноидах и сфероидах», «О спиралях» и «О квадрате параболы». геометрический анализ статических и гидростатических задач: о равновесии плоских фигур, о плавающих телах.В 3-ю группу входят всевозможные математические работы: о методе механического подтверждения теорем, вычислении песчинок, проблеме быков, сохранившихся только в отрывках.

    Евклид. У древнегреческого ученого Евклида были работы по механике, оптике и музыке. Популярный благодаря своим наградам в области астрономии. Некоторые теоремы и свежие доказательства до сих пор приписываются Евклиду.

    Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее популярны «Начало», состоящее из 15 книг.Первая книга определяет исходные точки геометрии, а также содержит основные аксиомы планиметрии, охватывающие аксиому суммы углов треугольника и аксиомы Пифагора. При построении правильных многоугольников снова звучит это имя Евклида. Книга XIII «Начала» посвящена Платоновым телам, верным многогранникам, красотой которых мы восхищаемся на занятиях по стереометрии. Рассматривая трудности дифференциального и интегрального исчисления на уроках анализа, мы говорим о соответствующих идеях, стоящих за ними Ньютоном и Лейбницем в 17 веке, восходя к методу исчерпания, открытому Евклидом и Архимедом.

    Фалес Милетский (ок. 625 — ок. 547 до н. Э.) Был древнегреческим ученым и муниципальным чиновником, первым из семи мудрецов. Во время своих путешествий он посетил Египет, где узнал об астрономии и геометрии.

    Предание гласит, что Фалес удивил египетского владыки Амасиса, измерив высоту одной из пирамид по объему отбрасываемой ею тени. Фалес первым обосновал ряд геометрических теорем, а именно:

    — вертикальные углы равны;

    — треугольники с одинаковыми сторонами и прилегающими равными углами равны;

    — углы у основания равнобедренного треугольника равны;

    — описанная окружность делит круг пополам;

    — Угол, вписанный в полукруг, всегда будет прямым углом.

    Фалес определял высоту объекта по его тени, расстояние до кораблей, применяя подобие треугольников.

    Он совершил ряд открытий в астрономии, установил время равноденствий и солнцестояний и определил продолжительность года. Фалес был включен в группу «7 мудрецов».

    Эратосфен из Кирены (ок. 276–194 до н. Э.) Был разносторонним ученым: математиком, астрологом, географом, историком и филологом. Он прославился изобретением сита Эратосфена.В своей работе «Сито» Эратосфен использовал аутентичный способ «просеивания» простых чисел. Во времена Эратосфена они были написаны на восковых дощечках. Цифры не зачеркнуты, а прошиты. Отсюда и название метода — сито. Он изобрел устройство — чтобы механически решить задачу Делоса (удвоение куба). Произведены первые замеры объемов земли. Измеряя длину 1/50 дуги меридиана Земли, Эратосфен вычислил окружность земного шара и получил 25 200 стадий, или 39 960 км, что всего на 319 км меньше фактического значения.

    Нет сомнений в научной арифметике Древней Греции.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *