Теория профиль математика: Теория вероятностей | ЕГЭ по математике (профильной)

Содержание

Теория вероятностей | ЕГЭ по математике (профильной)

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию $А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.

Решение:

Найдем количество желтых автомобилей:

$50-35=15$

Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$, следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$

Ответ:$0,3$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают ${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих вероятностей:

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того, что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.

Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.

События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба события, нужно найти произведение вероятностей

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

$Р=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию $А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения», ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются несовместными.

Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$

В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.

Решение:

Обозначим события, пусть:

$А$ = кофе закончится в первом автомате,

$В$ = кофе закончится во втором автомате.

Тогда,

$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,

$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.

События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Ответ: $0,88$

Практика: решай 4 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)

Производная | ЕГЭ по математике (профильной)

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной. 2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$


На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.


На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.


На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.


Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.


Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.


Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.


В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Практика: решай 7 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)

Математическая теория струн — квалификация факультета

  • Дом
  • Факультет и исследования
  • Области исследований
  • Экспертиза факультета

Дэвид Д. Бен-Цви
Профессор

Алгебраическая геометрия, теория представлений

512-471-8151

PMA 10. 168

Email &raquoПолный профиль &raquo

Daniel S Freed
Профессор

Милдред Колдуэлл и Бейн Перкинс Керр Столетие профессора математики

Дифференциальная геометрия

512-471-7136

PMA 9.162

6 &raquo90 6 &raquo90

Email Profile

Шон М. Кил
Профессор

Алгебраическая геометрия

512-471-3126

PMA 9.134

Email &raquoПолный профиль &raquo

Сонхёк Х Пак
Инструктор

привет!

PMA

Электронная почта «Полный профиль»

Джордж Д. Торрес

Аспирант кафедры математики. Офис RLM 10.126

Электронная почта &raquoПолный профиль &raquo

В настоящее время JavaScript отключен. Пожалуйста, включите его, чтобы получить больше удовольствия от Jumi.

Математика | Occidental College

Математика дает вам аналитические, логические навыки и навыки решения проблем, необходимые для понимания практических аспектов повседневной жизни и философской глубины научного мышления.

Охватывая несколько оригинальных гуманитарных наук, математика ценится за ее интеллектуальную красоту и вневременное исследование всего пространственного, количественного и структурированного через призму строгой абстракции. Будучи динамичной современной наукой, она предлагает непревзойденную аналитическую мощь для описания, детализации и понимания целого ряда физических, биологических, технологических, экономических и социальных аспектов нашего мира.

Независимо от того, знаете ли вы, чем хотите заниматься после колледжа, специальность по математике может соответствовать вашим интересам и потребностям. Основной или дополнительный могут также обеспечить отличное техническое и теоретическое дополнение к степени в других областях. Специальность Oxy по математике достаточно широка, чтобы удовлетворить различные интересы, и достаточно сильна, чтобы дать вам прочную аналитическую основу для дальнейшего изучения многих научных дисциплин. Учитесь за границей в рамках Будапештских семестров по математике или программы «Математика в Москве». Проводите исследования в кампусе вместе с наставником факультета или подайте заявку на проведение лета в исследовательском опыте для студентов, финансируемом Национальным научным фондом, в одном из многочисленных принимающих институтов по всей стране.

Для широкого круга работ работодателям нужны люди с количественными и аналитическими навыками, которые обеспечивает степень в области математики. Департамент может порекомендовать конкретную курсовую работу для аспирантов по математике, прикладной математике, статистике, инженерии или информатике; карьера в актуарной науке, исследовании операций, правительстве или бизнесе; сертификация для среднего обучения; а также другие карьерные пути, которые вы, возможно, не считали возможными со степенью в области математики.

Spring 2022 Math Help Room     Последний информационный бюллетень кафедры математики

Курсы, которые вы можете пройти

Теория чисел

Погрузитесь в классическую теорию чисел, от древней до современной. Исследуйте простые числа и факторизацию; делители, арифметические функции, линейные и квадратичные сравнения; диофантовы проблемы, включая гипотезу Ферма; и методы факторинга.

Линейная алгебра

Узнайте об основных понятиях линейной алгебры посредством изучения линейных алгебраических систем и матричной алгебры. Темы включают плоскости и линии, векторные операции, подпространства, исключение Гаусса, линейную независимость и обратимость матриц.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

В этом курсе вы сосредоточитесь на теоретическом качественном и количественном анализе обыкновенных дифференциальных уравнений с современной точки зрения с использованием аналитических, графических и числовых точек зрения.

Коллоквиум для старшеклассников

Изучение сложных тем по математике, выбранных преподавателем. Оценка зависит от семинара, но может включать письменные задания, устные презентации или экзамены.

Познакомьтесь с нашим факультетом

Джим Браун занимается теорией чисел, уделяя особое внимание модульным формам и арифметической геометрии. Он заинтересован в руководстве студентами в исследовательских проектах в области теории чисел и тесно связанных областях в рамках своей летней программы REU (не путать с URC). Заинтересованные студенты должны подать заявку на должность в REU через mathprograms.org. Прочитайте его профиль Oxy Story.

Трина Басу в основном занимается разработкой численных решений дробных дифференциальных уравнений в частных производных. В настоящее время она занимается исследованиями в области применения науки о данных в области интеллектуального анализа образовательных и медицинских данных. Прочтите ее профиль Oxy Story.

Рон Бакмайр несколько десятилетий занимался высшим образованием, накапливая опыт и знания в качестве преподавателя, исследователя и администратора.

Рамин Наими — тополог, занимающийся исследованиями в области теории пространственных графов, низкоразмерной топологии и теории узлов.

Tamás Lengyel интересуется многомерным статистическим анализом и комбинаторными и алгоритмическими аспектами прикладной математики.

Работа и интересы Тимоти лежат в области операторной алгебры, которая объединяет идеи функционального и гармонического анализа, теории групп и динамических систем. Прочитайте его профиль Oxy Story.

Исследования Эрика Сандберга сосредоточены на теории позиционных игр, комбинаторике и теории графов.

Чем занимаются наши выпускники

Аэрокосмический инженер, Lockheed Corporation

Майкл Чунг

2016

Центральный операционный менеджер, Uber

Элли О’Брайен

2017

Вице-президент и стратег, Payden & Rygel Investment Management

Мэдисон Кэссиди

2014

Руководитель отдела роста, Massdrop

Брэдли Росс

2009

Инженер-программист, Google

Джеффри Шоу

2005

Главный экономист, Совет Федеральной резервной системы

Диана Иеркосан

2006

Главный исполнительный директор, DocuSign

Дэн Спрингер

1985

доктор философии, Корнельский университет; Старший научный сотрудник, AT&T Bell Labs

Чжэнъи (Дженни) Чжоу

2010

Количественный аналитик, Milliman

Франсиско Эрнандес

2012

Предстоящие события

Math News

7 марта 2022 г.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *